Question

25、證明：等腰三角形中，底邊上的高線、中線、頂角的平分線重合．

Answer 1

分析：分AD是BC邊上的高；AD是BC邊的中線；AD平分∠BAC三種情況討論，通過證明三角形全等得以證明．

解答：解：1、已知三角形ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高．求證：BD=CD，∠BAD=∠CAD．
證明：因為AD是高，所以∠ADB=∠ADC=90度，
因為AB=AC，AD=AD，
所以直角△ABD全等直角△ACD（HL）
所以BD=CD，∠BAD=∠CAD．

2、已知三角形ABC中，AB=AC，AD是BC邊的中線，求證：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．
證明：因為AB=AC，AD=AD，BD=CD，
所以△ABD≌△ACD，
所以∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD．
因為∠ADB+∠ADC=180度，
所以∠ADB=90度，即有AD⊥BC．

3、已知三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求證：AD⊥BC，BD=CD．
證明：因為AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
所以△ABD≌△ACD，
所以∠ADB=∠ADC，BD=CD，
因為∠ADB+∠ADC=180度，
所以∠ADB=90度，即有AD⊥BC．

點評：本題考查了等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，即三線合一的證明．注意分類思想的運用．