Question

【題目】如圖,將一個正方形紙片OABC放置在平面直角坐標系中,其中A（1,0）,C（0,1）,P為AB邊上一個動點,折疊該紙片,使O點與P點重合,折痕l與OP交于點M,與對角線AC交于Q點

（Ⅰ）若點P的坐標為（1,0.25），求點M的坐標；

（Ⅱ）若點P的坐標為（1,t）

①求點M的坐標（用含t的式子表示）（直接寫出答案）

②求點Q的坐標（用含t的式子表示）（直接寫出答案）

（Ⅲ）當點P在邊AB上移動時,∠QOP的度數是否發生變化？如果你認為不發生變化,寫出它的角度的大小.并說明理由；如果你認為發生變化，也說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）M點坐標為（， ）；（Ⅱ）① M（，t）；②Q點坐標為（， ）；

（Ⅲ）不變化，∠QOP=45°，理由見解析.

【解析】解：（Ⅰ）過M作ME⊥x軸于點E，如圖1，

由題意可知M為OP中點，∴E為OA中點，∴OE=OA=，ME=AP=，∴M點坐標為（， ）；

（Ⅱ）①同（Ⅰ），當P（1，t）時，可得M（，t）；

②設直線OP的解析式為y=kx，把P（1，t）代入可求得k=t，

∴直線OP解析式為y=tx，又l⊥OP，

∴可設直線MQ解析式為y=﹣x+b，且過點M（， ），

把M點坐標代入可得=﹣+b，解得b=，∴直線l解析式為y=﹣x+，

又直線AC解析式為y=﹣x+1，

聯立直線l和直線AC的解析式可得 ，解得 ，

∴Q點坐標為（， ）；

（Ⅲ）不變化，∠QOP=45°．理由如下：由（Ⅱ）②可知Q點坐標為（， ），

∴OQ2=PQ2=（）2+（）2=，

又P（1，t），∴OP2=1+t2，∴OQ2+QP2=OP2，

∴△OPQ是以OP為斜邊的等腰直角三角形，∴∠QOP=45°，即∠QOP不變化．