Question

（2012•桂平市三模）如圖，矩形ABCD內接于⊙O，AB=3AD，對角線AC中點O為圓心，BK⊥AC，垂足為K．DH∥KB，DH分別與AC、AB、⊙O及CB的延長線相交于點E、F、G、H．
（1）求證：AE=CK；
（2）設AB=y，BK=x，試求y與x的函數關系式；
（3）若DE=6，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析：（1）根據ABCD是矩形，求證△BKC≌△ADE即可；
（2）根據勾股定理求得AC的長，根據三角形的面積公式得出

1

2

AB×BC=

1

2

AC×BK，代入即可求得BK．
（3）由（2）中的函數關系式、AC=

10

3

y求得AC=

10

3

x．然后利用（1）中的全等三角形的對應邊相等推知BK=DE=x，所以把x的值代入即可求得圓O的直徑AC的長度．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BC=DA，
∴∠DAE=∠BCK，
∵BK⊥AC，DH∥KB，
∴∠DEA=∠BKC=90°，
∴在△DEA與△BKC中，

∠DEA=∠BKC=90° ∠DAE=∠BCK DA=BC

，
∴△DEA≌△BKC（AAS），
∴AE=CK；

（2）∵在矩形ABCD中，AD=BC，AB=3AD=y，則AB=3BC=y．
∴在直角△ABC中，根據勾股定理得，AC=

AB2+BC2

=

10

3

y．
又∵

1

2

AB•BC=

1

2

AC•BK，BK=x，
∴y×

y

3

=

10

3

yx，
∴y=

10

x，即y與x的函數關系式是y=

10

x；

（3）∵由（1）知，△DEA≌△BKC，
∴DE=BK=6．
又∵由（2）知，y=

10

x，AC=

10

3

y，
∴AC=

10

3

x．
∴當x=6時，AC=

10

3

×6=2

10

，
∴OA=

1

2

AC=

10

，即⊙O的半徑長是

10

．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理，平行線的判定與性質，綜合性很強，需要學生系統的掌握知識，是一道很典型的題目．