Question

【題目】如圖1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于點M，連接CM．

（1）求證：BE=AD；并用含α的式子表示∠AMB的度數；

（2）當α=90°時，取AD，BE的中點分別為點P、Q，連接CP，CQ，PQ，如圖2，判斷△CPQ的形狀，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）α；（2）△CPQ為等腰直角三角形．證明見解析.

【解析】

試題（1）由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE；

（2）根據△ACD≌△BCE，得出∠CAD=∠CBE，再根據∠AFC=∠BFH，即可得到∠AMB=∠ACB=α；

（3）先根據SAS判定△ACP≌△BCQ，再根據全等三角形的性質，得出CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，最后根據∠ACB=90°即可得到∠PCQ=90°，進而得到△PCQ為等腰直角三角形．

試題解析：(1)證明：如圖①，∵∠ACB＝∠DCE＝α，

∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴BE＝AD.

(2)解：如圖①，∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD＝∠CBE.

∵∠BAC＋∠ABC＝180°－α，

∴∠BAM＋∠ABM＝180°－α，

∴∠AMB＝180°－(180°－α)＝α.

(3)解：△CPQ為等腰直角三角形．

證明：如圖②，由(1)可得，BE＝AD.

∵AD，BE的中點分別為點P，Q，

∴AP＝BQ.

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAP＝∠CBQ.在△ACP和△BCQ中，

∴△ACP≌△BCQ(SAS)，

∴CP＝CQ且∠ACP＝∠BCQ.

又∵∠ACP＋∠PCB＝90°，

∴∠BCQ＋∠PCB＝90°，

∴∠PCQ＝90°，

∴△CPQ為等腰直角三角形．