Question

【題目】 我們定義：如圖1、圖2、圖3，在△ABC中，把AB繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC繞點A逆時針旋轉β得到AC′，連接B′C′，當α+β＝180°時，我們稱△AB'C′是△ABC的“旋補三角形”，△AB′C′邊B'C′上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．圖1、圖2、圖3中的△AB′C′均是△ABC的“旋補三角形”．

（1）①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，“旋補中線”AD與BC的數(shù)量關系為：AD＝　 　BC；

②如圖3，當∠BAC＝90°，BC＝8時，則“旋補中線”AD長為　 　．

（2）在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想“旋補中線”AD與BC的數(shù)量關系，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）①；②4；（2）AD＝BC．

【解析】

（1）①首先證明△ADB'是含有30°的直角三角形，可得ADAB'即可解決問題；

②首先證明△BAC≌△B'AC'，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題；

（2）結論：ADBC．如圖1中，延長AD到M，使得AD=DM，連接B'M，C'M，首先證明四邊形AC'MB'是平行四邊形，再證明△BAC≌△AB'M，即可解決問題．

（1）①如圖2中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=AB'=AC'．

∵DB'=DC'，∴AD⊥B'C'．

∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B'AC'=180°，∴∠B'AC'=120°，∴∠B'=∠C'=30°，∴ADAB'BC．

故答案為：．

②如圖3中，∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B'AC'=180°，∴∠B'AC'=∠BAC=90°．

∵AB=AB'，AC=AC'，∴△BAC≌△B'AC'，∴BC=B'C'．

∵B'D=DC'，∴ADB'C'BC=4．

故答案為：4．

（2）結論：ADBC．

理由：如圖1中，延長AD到M，使得AD=DM，連接B'M，C'M．

∵B'D=DC'，AD=DM，∴四邊形AC'MB'是平行四邊形，∴AC'=B'M=AC．

∵∠BAC+∠B'AC'=180°，∠B'AC'+∠AB'M=180°，∴∠BAC=∠MB'A．

∵AB=AB'，∴△BAC≌△AB'M，∴BC=AM，∴ADBC．