Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD的頂點A在y軸上，點B、C在x軸上；OA、OB長是關于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的兩個根，且OA＞OB，BC＝6；

（1）寫出點D的坐標　 　；

（2）若點E為x軸上一點，且S△AOE＝，

①求點E的坐標；

②判斷△AOE與△AOD是否相似并說明理由；

（3）若點M是坐標系內一點，在直線AB上是否存在點F，使以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出F點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（6，4）；（2）①點E坐標或；②△AOE與△AOD相似，理由見解析；（3）存在，F1（﹣3，0）；F2（3，8）；；

【解析】

（1）求出方程x2﹣7x+12＝0的兩個根，OA＝4，OB＝3，可求點A坐標，即可求點D坐標；

（2）①設點E（x，0），由三角形面積公式可求解；

②由兩組對邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，可證△AOE∽△DAO；

（3）根據菱形的性質，分AC與AF是鄰邊并且點F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對角線的情況分別進行求解計算．

解：（1）∵OA、OB長是關于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的兩個根，

∴OA＝4，OB＝3，

∴點B（﹣3，0），點A（0，4），且AD∥BC，AD＝BC＝6，

∴點D（6，4）

故答案為：（6，4）；

（2）①設點E（x，0），

∵，

∴

∴

∴點E坐標或

②△AOE與△AOD相似，

理由如下：在△AOE與△DAO中，，，

∴．且∠DAO＝∠AOE＝90°，

∴△AOE∽△DAO；

（3）存在，

∵OA＝4，OB＝3，BC＝6，

∴，OB＝OC＝3，且OA⊥BO，

∴AB＝AC＝5，且AO⊥BO，

∴AO平分∠BAC，

①AC、AF是鄰邊，點F在射線AB上時，AF＝AC＝5，

所以點F與B重合，

即F（﹣3，0），

②AC、AF是鄰邊，點F在射線BA上時，M應在直線AD上，且FC垂直平分AM，

點F（3，8）．

③AC是對角線時，做AC垂直平分線L，AC解析式為，直線L過（，2），且k值為（平面內互相垂直的兩條直線k值乘積為﹣1），

L解析式為y＝x+，聯立直線L與直線AB求交點，

∴F（﹣，﹣），

④AF是對角線時，過C做AB垂線，垂足為N，

根據等積法求，勾股定理得出，，做A關于N的對稱點即為F，，過F做y軸垂線，垂足為G，，

∴F（﹣，）．

綜上所述：F1（﹣3，0）；F2（3，8）；；．