Question

【題目】已知點C(0,-2)，直線l:y=kx-2k無論k取何值，直線總過定點B，

(1)求定點B的坐標.

(2)如圖1，若點D為直線BC上（點(-1,-3)除外）一動點,過點D作x軸的垂線交y= - 3于點E，點F在直線BC上，距離D點為個單位，D點橫坐標為t，ΔDEF的面積為S，求S與t函數關系式.

(3)若直線BC關于x軸對稱后再向上平移5個單位得到直線B1C1，如圖2，點G(1，a)和H(6,b)是直線B1C1上兩點，點P(m,n)為第一象限內（G、H兩點除外）的一點，,且mn=6，直線PG和PH為分別交y軸于點MN兩點，問線段OM、ON有什么數量關系，請證明.

Answer 1

【答案】（1）定點B（2，0）；（2）SΔDEF=；（3）OM-ON=5，證明見解析.

【解析】

（1））由y=k（x-2），可得x=2時，y=0，可知定點B（2，0）；

（2）求出DE的長，分兩種情形分別求解即可解決問題；

（3）根據一次函數求出點M、N的坐標即可解決問題．

（1）∵y=kx-2k=k(x-2)與k無關，

∴x-2=0，

∴x=2，y=0，

故定點B（2，0）；

（2）把（-1，-3）代入y=kx-2k，得到k=1，

∴直線BC的解析式為y=x-2，

∵OB=OC=2，

∴∠OBC=45°，

∵DE⊥x軸，

∴∠CDE=45°，

∵D（t，t-2），

∴DE=|t-2+3|=|t+1|，

①當t＜-1時，S=×DF×DE×sin45°=××（-t-1）=-t-，

②當t＞-1時，S=DFDEsin45°=t+．

綜上，S=；

（3）結論：OM-ON=5．

理由：設直線PH 的解析式為y=kx+b，則有，

解得，

∴N（0，），

∴ON=，

∵mn=6，

∴ON==n+1，

同法可得OM=，

∵mn=6，

∴OM==n(1+m)=n+mn=n+6，

∴OM-ON=(n+6)-(n+1)=5．