Question

【題目】拋物線y=（x﹣3）（x+1）與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，點D為頂點．

（1）求點B及點D的坐標．
（2）連結BD，CD，拋物線的對稱軸與x軸交于點E．
①若線段BD上一點P，使∠DCP=∠BDE，求點P的坐標．
②若拋物線上一點M，作MN⊥CD，交直線CD于點N，使∠CMN=∠BDE，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=（x﹣3）（x+1）與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），

∴當y=0時，（x﹣3）（x+1）=0，

解得x=3或﹣1，

∴點B的坐標為（3，0）．

∵y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴頂點D的坐標為（1，﹣4）

（2）

解：①如圖．

∵拋物線y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3與與y軸交于點C，

∴C點坐標為（0，﹣3）．

∵對稱軸為直線x=1，

∴點E的坐標為（1，0）．

連接BC，過點C作CH⊥DE于H，則H點坐標為（1，﹣3），

∴CH=DH=1，

∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，

∴CD= ，CB=3 ，△BCD為直角三角形．

分別延長PC、DC，與x軸相交于點Q，R．

∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，

∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，

∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，

∴∠CDB=∠QCO，

∴△BCD∽△QOC，

∴ = = ，

∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）．

∴直線CQ的解析式為y=﹣ x﹣3，

直線BD的解析式為y=2x﹣6．

由方程組 ，解得 ．

∴點P的坐標為（ ，﹣ ）；

②（Ⅰ）當點M在對稱軸右側時．

若點N在射線CD上，如備用圖1，延長MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G．

∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，

∴△MCN∽△DBE，

∴ = = ，

∴MN=2CN．

設CN=a，則MN=2a．

∵∠CDE=∠DCF=45°，

∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形，

∴NF=CN=a，CF= a，

∴MF=MN+NF=3a，

∴MG=FG= a，

∴CG=FG﹣FC= a，

∴M（ a，﹣3+ a）．

代入拋物線y=（x﹣3）（x+1），解得a= ，

∴M（ ，﹣ ）；

若點N在射線DC上，如備用圖2，MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G．

∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，

∴△MCN∽△DBE，

∴ = = ，

∴MN=2CN．

設CN=a，則MN=2a．

∵∠CDE=45°，

∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形，

∴NF=CN=a，CF= a，

∴MF=MN﹣NF=a，

∴MG=FG= a，

∴CG=FG+FC= a，

∴M（ a，﹣3+ a）．

代入拋物線y=（x﹣3）（x+1），解得a=5 ，

∴M（5，12）；

（Ⅱ）當點M在對稱軸左側時．

∵∠CMN=∠BDE＜45°，

∴∠MCN＞45°，

而拋物線左側任意一點K，都有∠MCN＜45°，

∴點M不存在．

綜上可知，點M坐標為（ ，﹣ ）或（5， 12）．

【解析】（1）解方程（x﹣3）（x+1）=0，求出x=3或﹣1，根據拋物線y=（x﹣3）（x+1）與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），確定點B的坐標為（3，0）；將y=（x﹣3）（x+1）配方，寫成頂點式為y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即可確定頂點D的坐標；（2）①根據拋物線y=（x﹣3）（x+1），得到點C、點E的坐標．連接BC，過點C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD= ，CB=3 ，證明△BCD為直角三角形．分別延長PC、DC，與x軸相交于點Q，R．根據兩角對應相等的兩三角形相似證明△BCD∽△QOC，則 = = ，得出Q的坐標（﹣9，0），運用待定系數法求出直線CQ的解析式為y=﹣ x﹣3，直線BD的解析式為y=2x﹣6，解方程組 ，即可求出點P的坐標；②分兩種情況進行討論：（Ⅰ）當點M在對稱軸右側時．若點N在射線CD上，如備用圖1，延長MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G，先證明△MCN∽△DBE，由相似三角形對應邊成比例得出MN=2CN．設CN=a，再證明△CNF，△MGF均為等腰直角三角形，然后用含a的代數式表示點M的坐標，將其代入拋物線y=（x﹣3）（x+1），求出a的值，得到點M的坐標；若點N在射線DC上，同理可求出點M的坐標；（Ⅱ）當點M在對稱軸左側時．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根據直角三角形兩銳角互余得出∠MCN＞45°，而拋物線左側任意一點K，都有∠MCN＜45°，所以點M不存在．