Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝10，點E在正方形內部，且AE⊥BE，cot∠BAE＝2，如果以E為圓心，r為半徑的⊙E與以CD為直徑的圓相交，那么r的取值范圍為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

設AB的中點為G，連接EG，延長BE交CD于H，根據直角三角形的性質得到EG＝AB＝5，根據三角函數的定義得到CH＝BC＝CD＝5，推出點H是以CD為直徑的圓的圓心，設BE＝k，AE＝2k，得到BE＝2，根據勾股定理得到BH＝＝5，求得EH＝BH﹣BE＝3，于是得到結論．

解：設AB的中點為G，

連接EG，延長BE交CD于H，

∵AE⊥BE，

∴∠AEB＝90°，

∴EG＝AB＝5，

∵在正方形ABCD中，∠C＝∠ABC＝90°，

∴∠BAE+∠ABE＝∠ABE+∠CBH＝90°，

∴∠CBH＝∠BAE，

∴cot∠BAE＝cot∠CBH＝＝2，

∴CH＝BC＝CD＝5，

∴點H是以CD為直徑的圓的圓心，

設BE＝k，AE＝2k，

∴AB＝k＝10，

∴k＝2，

∴BE＝2，

∵∠C＝90°，BC＝10，CH＝5，

∴BH＝ ＝5，

∴EH＝BH﹣BE＝3 ，

∵r為半徑的⊙E與以CD為直徑的圓相交，

∴r的取值范圍為，

故答案為：．