Question

如果對于不小于8的自然數n，當3n+1是一個完全平方數時，n+1都能表示成k個完全平方數的和，那么k的最小值為

3

．

Answer 1

分析：根據3n+1是一個完全平方數，設3n+1=m²，移項，因式分解，得出m+1，m-1中必有一個是3的倍數，設其中一個為3a，用含a的代數式表示n，再把n+1用含a的代數式表示，變形成幾個完全平方數的和即可．

解答：解：設3n+1=m²，則3n=m²-1=（m+1）（m-1），
故m+1，m-1中必有一個是3的倍數，
不妨設m-1=3a，
則3n=m²-1=（m+1）（m-1）=（3a+2）•3a，
即n=a（3a+2），
則n+1=a（3a+2）+1=3a²+2a+1=a²+a²+（a+1）²，
故其最小值為3．
故答案為：3．

點評：本題考查了完全平方數．關鍵是運用字母代替數，將所求式子變形，得出幾個完全平方數的和，求出k的最小值．