Question

【題目】如圖，已知直線與軸，軸分別交于點，拋物線的頂點是，且與軸交于兩點，與軸交于點是拋物線上一個動點，過點作于點．

求二次函數的解析式；

當點運動到何處時，線段PG的長取最小值?最小值為多少?

若點是拋物線對稱軸上任意點，點是拋物線上一動點，是否存在點使得以點為頂點的四邊形是菱形?若存在，請你直接寫出點的坐標；若不存在，請你說明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）點的坐標為 ，最小值為；（3）點的坐標為或

【解析】

(1)根據頂點式直接寫出二次函數的解析式，整理可得二次函數的一般式；

(2) 過點作軸交于點，即可通過三角函數關系式把求線段PG的長取最小值轉化為求線段PH的最小值即可得到答案；

(3)分CD為菱形的邊和對角線兩種情況討論即可；

解：由題意，可得拋物線為

整理得：

故二次函數的解析式為

把代入得

點的坐標為．

把代入

得

點的坐標為．

如圖過點作軸交于點

則有，

（兩直線平行，同位角相等）

設點的橫坐標為

則，，

，

，

當時，有最小值，最小值為，

此時有最小值，

當時，

此時點的坐標為

符合條件的點的坐標為或，

求解如下：

由題意知，拋物線的對稱軸為，

把代入，

得或，

，

．

I．如圖當以為菱形的邊時，平行且等于

若點在對稱軸右側，

，

，

把代入，得，

點的坐標為．

四邊形為菱形，

即符合題意，

同理可知，當的坐標為時，四邊形也為菱形．

II．如圖當為菱形的對角線時，

根據菱形的對角線互相垂直平分，可得對稱軸垂直平分

所以在對稱軸上．

又因為點在拋物線上，

所以點為拋物線的頂點，

所以點的坐標為．

綜上所述，符合條件的點的坐標為或