Question

如圖，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，與CD相交于點F，延長BD到A，使DA=DF，延長BF交AC于E，
（1）試說明：△FBD≌△ACD；
（2）試說明：△ABC是等腰三角形；
（3）試說明：CE=

1

2

BF．

Answer 1

分析：（1）根據等腰直角三角形的直角邊相等可得BD=CD，再利用“邊角邊”證明△FBD和△ACD全等即可；
（2）根據全等三角形對應角相等可得∠DBF=∠DCA，再根據∠DAC+∠A=90°推出∠DBF+∠A=90°，然后求出∠AEB=90°，再利用“角邊角”證明△ABE和△CBE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AB=CB，從而得證；
（3）根據全等三角形對應邊相等可得BF=AC，AE=CE，然后求出CE=

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2

BF．

解答：證明：（1）在等腰Rt△DBC中，BD=CD，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵在△FBD和△ACD中，

DA=DF ∠BDC=∠ADC BD=CD

，
∴△FBD≌△ACD（SAS）；

（2）∵△FBD≌△ACD，
∴∠DBF=∠DCA，
∵∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠A=90°，
∴∠DBF+∠A=90°，
∴∠AEB=180°-（∠DBF+∠A）=90°，
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵在△ABE和△CBE中，

∠AEB=∠CEB=90° BE=BE ∠ABF=∠CBF

，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AB=CB，
∴△ABC是等腰三角形；

（3）∵△FBD≌△ACD，
∴BF=AC，
∵△ABE≌△CBE，
∴AE=CE=AC，
∴CE=

1

2

BF．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，等角對等邊的性質，等邊對等角的性質，綜合題但難度不大，熟記各性質是解題的關鍵．