Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0＜m＜4），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．

（1）求a的值和直線AB的函數表達式；
（2）設△PMN的周長為C1 ， △AEN的周長為C2 ， 若 = ，求m的值；
（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點O逆時針旋轉得到OE′，旋轉角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E′A+ E′B的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0，則ax2+（a+3）x+3=0，

∴（x+1）（ax+3）=0，

∴x=﹣1或﹣ ，

∵拋物線y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），

∴﹣ =4，

∴a=﹣ ．

∵A（4，0），B（0，3），

設直線AB解析式為y=kx+b，則 ，

解得 ，

∴直線AB解析式為y=﹣ x+3

（2）

解：如圖1中，

∵PM⊥AB，PE⊥OA，

∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，

∴△PNM∽△ANE，

∴ = ，

∵NE∥OB，

∴ = ，

∴AN= （4﹣m），

∵拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+3，

∴PN=﹣ m2+ m+3﹣（﹣ m+3）=﹣ m2+3m，

∴ = ，

解得m=2．

（3）

解：如圖2中，在y軸上 取一點M使得OM= ，

∵OE′=2，OMOB= ×3=4，

∴OE′2=OMOB，

∴ = ，∵∠BOE′=∠MOE′，

∴△MOE′∽△E′OB，

∴ = = ，

∴ME′= BE′，

∴AE′+ BE′=AE′+E′M=AM′，

此時AE′+ BE′最小，最小值=AM= =

【解析】（1）令y=0，求出拋物線與x軸交點，列出方程即可求出a，根據待定系數法可以確定直線AB解析式．（2）由△PNM∽△ANE，推出 = ，列出方程即可解決問題．（3）在y軸上 取一點M使得OM= ，構造相似三角形，可以證明AM就是E′A+ E′B的最小值．本題考查相似三角形的判定和性質、待定系數法、最小值問題等知識，解題的關鍵是構造相似三角形，找到線段AM就是E′A+ E′B的最小值，屬于中考壓軸題．
【考點精析】利用二次函數的最值和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．