Question

學習數學應該積極地參加到現實的、探索性的數學活動中去，努力地成為學習的主人．如圖，請你探究：隨著D點位置的變化，∠BDC與∠A的大小關系．（①、②問用“＞”表示其關系，③、④、⑤問用“=”表示其關系）

（1）如圖①，點D在AC上（不同于A、C兩點），∠BDC與∠A的關系是______；
（2）如圖②，點D在△ABC內部，∠BDC與∠A的關系是______；
（3）如圖③，點D是∠ABC，∠ACB平分線的交點，此時∠BDC與∠A的關系是______；
（4）如圖④，點D是∠ABC的平分線和∠ACB外角平分線的交點，∠BDC與∠A的關系是______；
（5）如圖⑤，點D是∠ABC與∠ACB兩外角平分線的交點，∠BDC與∠A的關系是______．

Answer 1

解：（1）根據外角的性質得出，
∠C＞∠A，

（2）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∠D+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠A＜∠BDC，

（3）∵BD是∠ABC，∠ACB平分線，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∵∠D+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠D+∠ABC+∠ACB=180°，
∠D=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．

（4）∵∠A=180°-∠ABC-∠BCA，
∠D=180°-∠BDC-∠BCD，
∵∠BCD=∠ABC+∠A+∠BCA，
∴∠BDC=∠A．

（5）根據外角的性質以及角平分線的性質即可得出：
∠BDC=90°-∠A．
故答案分別為：（1）∠C＞∠A，（2）∠A＜∠BDC，（3）∠D=90°+∠A．
（4）∠BDC=∠A．（5）∠BDC=90°-∠A．
分析：（1）利用三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內角，可得到答案；
（2）根據∠ABC＞∠BDC，可以得出答案；
（3）根據角平分線的性質可以得出∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，進而得出∠D=90°+∠A．
（4）根據∠A=180°-∠ABC-∠BCA，∠D=180°-∠BDC-∠BCD，分別得出∠D與∠A的關系；
（5）根據外角的性質以及（4）的方法以得出，∠BDC與∠A的關系．
點評：此題主要考查了三角形的外角與內角的關系，內角和定理以及角平分線的性質等知識，熟練地應用角平分線的性質是解決問題的關鍵．