Question

【題目】在平面直角坐標系中，點的坐標為.

（1）如圖1，若點的坐標為，是等腰直角三角形，，，求點坐標；

（2）如圖2，若點是的中點，求證：；

（3）如圖3，是等腰直角三角形，，，是等邊三角形，連接，若，求點坐標.

Answer 1

【答案】（1）（7，3）；（2）見詳解；（3）（2，0）.

【解析】

（1）過點C作CM⊥x軸于點M，由△ABC是等腰直角三角形，則AB=BC，然后證明△AOB≌△BMC，得到AO=BM，OB=CM，即可求出點C的坐標；

（2）根據題意，△ABO是直角三角形，點E是AB中點，即可得到；

（3）根據題意，把△DAO繞著點D旋轉60°得到△DCG，作CM⊥BG與M，則△DAO≌△DCG，得到∠AOD=∠CGD=30°，CG=OA=4，然后得到△ODG是等邊三角形，求出∠CGM=30°，得到，再由△AOB≌△BMC，得到OB=CM=2，即可得到點B的坐標.

解：（1）如圖，過點C作CM⊥x軸于點M，則∠BMC=90°=∠AOB，

∵點A為（0，4），點B為（3，0），

∴OA=4，OB=3，

∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBM=90°，∠BCM+∠CBM=90°，

∴∠ABO=∠BCM，

∴△AOB≌△BMC，

∴OA=BM，OB=CM=3，

∴OM=OB+BM=3+4=7，

∴點C的坐標為：（7，3）；

（2）如圖，

∵△AOB是直角三角形，點E是AB的中點，

∴OE=OA=OB=，

∴；

（3）根據題意，如圖，把△DAO繞著點D旋轉60°，得到△DCG，作CM⊥BG與M，

則△DAO≌△DCG，

∴∠AOD=∠CGD=30°，CG=OA=4，

∵OD=DG，∠ODG=60°，

∴△ODG是等邊三角形，

∴∠OGD=60°，

∴∠CGM=60°-30°=30°，

在Rt△CGM中，CM=，

由（1）知，△AOB≌△BMC，

∴OB=CM，

∴OB=2，

∴點B的坐標為：（2，0）.