Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，對于點P（a，b），若點P′的坐標為（a，ka+b）（其中k為常數，且k≠0），則稱點P′為點P的“k關聯點”．

（1）求點P（﹣2，3）的“2關聯點”P′的坐標；

（2）若a、b為正整數，點P的“k關聯點”P′的坐標為（3，6），求出k及點P的坐標；

（3）如圖，點Q的坐標為（0，4），點A在函數y=﹣（x＜0）的圖象上運動，且點A是點B的“﹣關聯點”，當線段BQ最短時，求B點坐標．

Answer 1

【答案】（1）P′（﹣，﹣1）；（2）k=2，P′（1，4）、（2，2）；（3）B（，）．

【解析】

試題分析：（1）根據題中的新定義求出點P（﹣2，3）的“2關聯點”P′的坐標即可；

（2）根據題中的新定義求出a與b的關系式即可；

（3）根據題意得出A（a﹣，﹣a+b），代入y=﹣（x＜0），求得b=a+2，從而求得B在直線y=x+2上，過Q作y=x+2的垂線QB1，垂足為B1，Q（0，4），且線段BQ最短，B1即為所求的B點，由△MB1Q∽△MON 得==，由ON=2，OM=2，根據勾股定理求得MN=4．由MQ=2，求得B1Q=，MB1=3，在Rt△MB1Q中，根據面積公式得到B1QMB1=MQhB1，即可求得B的坐標．

解：（1）∵x=﹣2+=﹣，y=2×（﹣2）+3=﹣1，

∴P′（﹣，﹣1）；

（2）設P（a，b），則P′（a+，ka+b）

∴，

∴k=2，

∴2a+b=6．

∵a、b為正整數

∴P′（1，4）、（2，2）；

（3）∵B的“﹣關聯點”是A，

∴A（a﹣，﹣a+b），

∵點A還在反比例函數y=﹣的圖象上，

∴（﹣a+b）（a﹣）=﹣4，

∴（b﹣a）2=12，

∵b﹣a＞0，

∴b﹣a=2，

∴b=a+2；

∴B在直線y=x+2上．

過Q作y=x+2的垂線QB1，垂足為B1，

∵Q（0，4），且線段BQ最短，

∴B1即為所求的B點，

由△MB1Q∽△MON 得==，

∵ON=2，OM=2，

∴MN=4．

又∵MQ=2，

∴B1Q=，MB1=3

在Rt△MB1Q中，B1QMB1=MQhB1，

∴hB1=，

∴xB1=，

∴B（，）．