Question

我們學過圓內接三角形，同樣，四個頂點在圓上的四邊形是圓內接四邊形，下面我們來研究它的性質．
（I）如圖（1），連接AO、OC，則有，．∵∠1+∠2=360°∴，同理∠BAD+∠BCD=180°，即圓內接四邊形對角（相對的兩個角）互補．
（II）在圖（2）中，∠ECD是圓內接四邊形ABCD的一個外角，請你探究外角∠DCE與它的相鄰內角的對角（簡稱內對角）∠A的關系，并證明∠DCE與∠A的關系．
（III）應用：請你應用上述性質解答下題：如圖（3）已知ABCD是圓內接四邊形，F、E分別為BD、AD延長線上的點，如果DE平分
∠FDC，求證：AB=AC．

Answer 1

（II）解：∠DCE=∠A．
證明：∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠DCE=∠A；

（III）證明：∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，
∴∠2=∠ABC，
∵∠1=∠ADB，∠ADB=∠ACB，
∴∠1=∠ACB，
∵DE平分∠FDC，
∴∠1=∠2，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
分析：（II）由（I）可知：∠A+∠BCD=180°，又由鄰補角的定義，可得∠DCE+∠BCD=180°，繼而可證得∠DCE=∠A；
（III）由（II）易證得∠2=∠ABC，又由對頂角相等與圓周角定理，可證得∠1=∠ACB，又因為DE平分∠FDC，即可證得∠ABC=∠ACB，根據等角對等邊的性質，即可證得AB=AC．
點評：此題考查了圓的內接四邊形的性質、圓周角定理以及等腰三角形的判定．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．