Question

已知一元二次方程x²－4x－5＝0的兩個實數根為x₁、x₂，且x₁＜x₂．若x₁、x₂分別是拋物線y＝－x²＋bx＋c與x軸的兩個交點A、B的橫坐標(如下圖所示)．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)設(1)中的拋物線與y軸的交點為C，拋物線的頂點為D，請直接寫出點C、D的坐標并求出四邊形ABDC的面積；

(3)是否存在直線y＝kx(k＞0)與線段BD相交且把四邊形ABDC的面積分為相等的兩部分？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

[注：拋物線y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的頂點坐標為()]

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由方程x2－4x－5＝0得方程的兩根x1＝－1，x2＝5． 　　所以A、B的坐標分別為A(－1，0)、B(5，0)．……1分 　　把A(－1，0)、B(5，0)代入y＝－x2＋bx＋c得 　　　解得…………………………………………2分 　　∴拋物線的解析式為y＝－x2＋4x＋5．…………………………3分 　　(2)C(0，5)、D(2，9)．………………………………………5分 　　如圖所示，過D作DE⊥x軸于點E，則 　　S四邊形ACDB＝S△AOC＋S四邊形OCDE＋S△EDB 　　＝…………6分 　　＝ 　　＝16＋14 　　＝30．………………………………………………7分 　　(3)存在滿足條件的直線．………………………8分 　　設過B、D兩點的直線解析式為y＝k1x＋d，把B(5，0)、D(2，9)代入y＝k1x＋d得 　　………………………………9分 　　解得 　　∴直線BD的解析式為y＝－3x＋15．…………………………10分 　　設y＝kx與y＝－3x＋15的交點為F(m，n)，作直線OF，則S△OBF＝，即OB×n＝15， 　　∴×5n＝15，∴n＝6． 　　又∵點F(m，6)在y＝－3x＋15上， 　　∴6＝－3m＋15． 　　∴m＝3． 　　∴點F(3，6)．…………………………………………………11分 　　把點F(3，6)代入y＝kx，得6＝3k，即k＝2．…………………12分