Question

【題目】如圖1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，BH=5．

探究：如圖1，AH⊥BC于點H，則AH= ，AC= ，△ABC的面積 ；

拓展：如圖2，點D在AC上（可與點A，C重合），分別過點A.C作直線BD的垂線，垂足為E，F，設BD=x，AE=m，CF=n（當點D與點A重合時，我們認為）

（1）用含x，m，n的代數式表示及；

（2）求（m+n）與x的函數關系式，并求（m+n）的最大值和最小值；

（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D，直接寫出這樣的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】探究：12；15；84；拓展：(1)=mx；=nx；(2)m+n=；m+n有最大值15；m+n的最小值為12；(3) 11.2.

【解析】試題分析：探究：根據勾股定理計算即可；

拓展：（1）根據三角形的面積公式計算；

（2）根據△ABC的面積是84，列出關系式，求出（m+n）與x的函數關系式，結合圖形求出（m+n）的最大值和最小值；

（3）根據當BD⊥AC時，m+n有最大值解答．

試題解析：探究：由勾股定理得，AH==12，

AC==15，

△ABC的面積S△ABC=×BC×AH=84.

故答案為：12；15；84；

拓展：（1）=×BD×AE=mx，

=×BD×CH=nx；

（2）mx+nx=84，

m+n=，

當BD⊥AC時，m+n有最大值15，

當BD值最大時，m+n有最小值．

∴當點D與點C重合時m+n有最小值．

∴m+n的最小值為=12；

（3）當BD⊥AC時，

x=BD==11.2，只能確定唯一的點D．