Question

【題目】如圖1，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，
（1）連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數；
（2）何時△PBQ是直角三角形？
（3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠CMQ=60°不變．

∵等邊三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°

又由條件得AP=BQ，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°

（2）解：設時間為t，則AP=BQ=t，PB=4﹣t

①當∠PQB=90°時，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，得4﹣t=2t，t= ；

②當∠BPQ=90°時，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t= ；

∴當第 秒或第 秒時，△PBQ為直角三角形

（3）解：∠CMQ=120°不變．

∵在等邊三角形中，BC=AC，∠B=∠CAP=60°

∴∠PBC=∠ACQ=120°，

又由條件得BP=CQ，

∴△PBC≌△QCA（SAS）

∴∠BPC=∠MQC

又∵∠PCB=∠MCQ，

∴∠CMQ=∠PBC=180°﹣60°=120°

【解析】（1）因為點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，所以AP=BQ．AB=AC，∠B=∠CAP=60°，因而運用邊角邊定理可知△ABQ≌△CAP．再用全等三角形的性質定理及三角形的角間關系、三角形的外角定理，可求得CQM的度數．（2）設時間為t，則AP=BQ=t，PB=4﹣t．分別就①當∠PQB=90°時；②當∠BPQ=90°時利用直角三角形的性質定理求得t的值．（3）首先利用邊角邊定理證得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性質定理得到∠BPC=∠MQC．再運用三角形角間的關系求得∠CMQ的度數．
【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質的相關知識點，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能正確解答此題．