Question

【題目】?jī)蓧K等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖1所示放置，直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)O處，AB=25，CD=17．保持紙片AOB不動(dòng)，將紙片COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）角度，如圖2所示．
（1）利用圖2證明AC=BD且AC⊥BD；
（2）當(dāng)BD與CD在同一直線上（如圖3）時(shí)，求AC的長(zhǎng)和α的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖2中，延長(zhǎng)BD交OA于G，交AC于E．

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOC=∠DOB，

在△AOC和△BOD中，

，

∴△AOC≌△BOD，

∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，

∵∠DBO+∠GOB=90°，

∵∠OGB=∠AGE，

∴∠CAO+∠AGE=90°，

∴∠AEG=90°，

∴BD⊥AC．

（2）解：如圖3中，設(shè)AC=x，

∵BD、CD在同一直線上，BD⊥AC，

∴△ABC是直角三角形，

∴AC2+BC2=AB2，

∴x2+（x+17）2=252，

解得x=7，

∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°，∠ABC+∠DBO=45°，

∴∠α=∠ABC，

∴sinα=sin∠ABC= =

【解析】（1）如圖2中，延長(zhǎng)BD交OA于G，交AC于E，只要證明△AOC≌△BOD即可解決問(wèn)題．（2）如圖3中，設(shè)AC=x，在RT△ABC中，利用勾股定理求出x，再根據(jù)sinα=sin∠ABC= 即可解決問(wèn)題．