Question

【題目】如圖，已知拋物線y= （x+2）（x﹣4）（k為常數，且k＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經過點B的直線y=﹣ x+b與拋物線的另一交點為D．

（1）若點D的橫坐標為﹣5，求拋物線的函數表達式；
（2）若在第一象限內的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，求k的值；
（3）在（1）的條件下，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線y= （x+2）（x﹣4），

令y=0，解得x=﹣2或x=4，

∴A（﹣2，0），B（4，0）．

∵直線y=﹣ x+b經過點B（4，0），

∴﹣ ×4+b=0，解得b= ，

∴直線BD解析式為：y=﹣ x+ ．

當x=﹣5時，y=3 ，

∴D（﹣5，3 ）．

∵點D（﹣5，3 ）在拋物線y= （x+2）（x﹣4）上，

∴ （﹣5+2）（﹣5﹣4）=3 ，

∴k= ．

∴拋物線的函數表達式為：y= （x+2）（x﹣4）

（2）

解：由拋物線解析式，令x=0，得y=﹣k，

∴C（0，﹣k），OC=k．

因為點P在第一象限內的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．

因此若兩個三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，則有∠BAC=∠PAB，如答圖2﹣1所示．

設P（x，y），過點P作PN⊥x軸于點N，則ON=x，PN=y．

tan∠BAC=tan∠PAB，即： ，

∴y= x+k．

∴P（x， x+k），代入拋物線解析式y= （x+2）（x﹣4），

得 （x+2）（x﹣4）= x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，

解得：x=8或x=﹣2（與點A重合，舍去），

∴P（8，5k）．

∵△ABC∽△APB，

∴ ，即 ，

解得：k= ．

②若△ABC∽△PAB，則有∠ABC=∠PAB，如答圖2﹣2所示．

設P（x，y），過點P作PN⊥x軸于點N，則ON=x，PN=y．

tan∠ABC=tan∠PAB，即： = ，

∴y= x+ ．

∴P（x， x+ ），代入拋物線解析式y= （x+2）（x﹣4），

得 （x+2）（x﹣4）= x+ ，整理得：x2﹣4x﹣12=0，

解得：x=6或x=﹣2（與點A重合，舍去），

∴P（6，2k）．

∵△ABC∽△PAB，

= ，

∴ = ，

解得k=± ，

∵k＞0，

∴k= ，

綜上所述，k= 或k=

（3）

解：方法一：

如答圖3，由（1）知：D（﹣5，3 ），

如答圖2﹣2，過點D作DN⊥x軸于點N，則DN=3 ，ON=5，BN=4+5=9，

∴tan∠DBA= = = ，

∴∠DBA=30°．

過點D作DK∥x軸，則∠KDF=∠DBA=30°．

過點F作FG⊥DK于點G，則FG= DF．

由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t=AF+ DF，

∴t=AF+FG，即運動的時間值等于折線AF+FG的長度值．

由垂線段最短可知，折線AF+FG的長度的最小值為DK與x軸之間的垂線段．

過點A作AH⊥DK于點H，則t最小=AH，AH與直線BD的交點，即為所求之F點．

∵A點橫坐標為﹣2，直線BD解析式為：y=﹣ x+ ，

∴y=﹣ ×（﹣2）+ =2 ，

∴F（﹣2，2 ）．

綜上所述，當點F坐標為（﹣2，2 ）時，點M在整個運動過程中用時最少．

方法二：

作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直線BD于點F，

∵∠DBA=30°，

∴∠BDH=30°，

∴FH=DF×sin30°= ，

∴當且僅當AH⊥DK時，AF+FH最小，

點M在整個運動中用時為：t= ，

∵lBD：y=﹣ x+ ，

∴FX=AX=﹣2，

∴F（﹣2， ）

【解析】（1）首先求出點A、B坐標，然后求出直線BD的解析式，求得點D坐標，代入拋物線解析式，求得k的值；（2）因為點P在第一象限內的拋物線上，所以∠ABP為鈍角．因此若兩個三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答圖2，按照以上兩種情況進行分類討論，分別計算；（3）由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t=AF+ DF．如答圖3，作輔助線，將AF+ DF轉化為AF+FG；再由垂線段最短，得到垂線段AH與直線BD的交點，即為所求的F點．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．