Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上的一點，且AP=AC．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）求證：AC2=COCP；

（3）若PD=，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析；

（3）⊙O的直徑為．

【解析】試題分析：（1）連結OA、AD，如圖，利用圓周角定理得到∠CAD=90°，∠ADC=∠B=60°，則∠ACD=30°，再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°，接著根據圓周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°，然后根據三角形內角和定理可計算出∠OAP=90°，于是根據切線的判定定理可判斷AP與 O相切；

（2）通過△ACO∽△PCA，得到=，由于AC=AP于是得到結論；

（3）連接AD，證得△AOD是等邊三角形，得到∠OAD=60°，求得AD=PD=，得到OD=，即可得到結論．

試題解析：（1）連結OA、AD，如圖，

∵CD為直徑，

∴∠CAD=90°，

∵∠ADC=∠B=60°，

∴∠ACD=30°，

∵AP=AC，

∴∠P=∠ACD=30°，

∵∠AOD=2∠ACD=60°，

∴∠OAP=180°﹣60°﹣30°=90°，

∴OA⊥PA，

∴AP與⊙O相切；

（2）∵∠P=∠ACP=∠CAO=30°，

∴△ACO∽△PCA，

∴=，

∵AC=AP

∴AC2=CO．CP；

（3）∵AO=DO，∠ADC=60°，

∴△AOD是等邊三角形，

∴∠OAD=60°，

∴∠PAD=30°，

∴∠P=∠PAD，

∴AD=PD=，

∴OD=，

∴⊙O的直徑CD=2．