Question

如圖，在∠MAN內有一定點P，已知tan∠MAN=3，P到直線AN的距離PD=12，AD=30．過P任作一條直線分別與AN、AM交于點B、C．求△ABC面積的最小值．

Answer 1

分析：可證明，當過點P的直線滿足PB=PC時，△ABC的面積最小．設B₁C₁為過點P的任一直線，構成△AB₁C₁．作CF∥B₁B，可證明△PCF≌△PBB₁，則S_△ABC=S_△PCF+S_{四邊形AB1PC}＜S_△AB1C1．即可求出CE，再由tan∠MAN=3，可得AE，從而得出BD，即可得出△ABC面積的最小值．

解答：解：可證明，當過點P的直線滿足PB=PC時，△ABC的面積最小．
事實上，設B₁C₁為過點P的任一直線，構成△AB₁C₁．
如圖，作CF∥B₁B，則△PCF≌△PBB₁，
故S_△ABC=S_△PCF+S_{四邊形AB1PC}＜S_△AB1C1．
根據上述的幾何結論計算如下．
因為PD=12，所以CE=24，
又因為tan∠MAN=3，
所以AE=8，
由ED=BD，
而ED=AD-AE=22，
得BD=22．
故AB=AD+BD=52．
（S_△ABC）min=

1

2

AB•CE=624．

點評：本題是一道綜合性的題目，考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質以及解直角三角形，綜合性較強，難度偏大．