Question

【題目】如圖，⊙是的外接圓，，，交的延長線于點，交于點.

(1)求證:是⊙的切線;

(2)若，.求⊙的半徑和線段的長.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)⊙的半徑為4和線段的長為.

【解析】

（1）連結OA，根據圓周角定理求得∠AOC=90°，又因AD∥OC，根據平行線的性質可得∠AOD=90°，即OA⊥OC，即可證得 AD是⊙O的切線；（2）設⊙O的半徑為R，則OA=R，OE=R-2，AE=2，在Rt△OAE中，根據勾股定理列出方程，解方程求得R的長，即可求得⊙O的半徑；延長CO交⊙O于F，連接AF，可得△CEB∽△AEF，根據相似三角形的性質可得 ，代入數據求得BE的值即可．

（1）證明：連結OA，如圖，

∵∠ABC=45°，

∴∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，

∴AD∥OC，

∴∠AOD=90°，即OA⊥OC，

∴AD是⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為R，則OA=R，OE=R-2，AE=2，

在Rt△OAE中，∵AO2+OE2=AE2，

∴R2+（R-2）2=（2）2，

解得R=4或R=-2（舍去），

即⊙O的半徑為4；

延長CO交⊙O于F，連接AF，

則△CEB∽△AEF，

∴ ，

∵EF=2R-2=6，

∴

∴BE=．