Question

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對于形如x²+2ax+a²這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成（x+a）²的形式．但對于二次三項式x²+2ax-3a²，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式x²+2ax-3a²中先加上一項a²，使它與x²+2ax的和成為一個完全平方式，再減去a²，整個式子的值不變，于是有：
x²+2ax-3a²=（x²+2ax+a²）-a²-3a²=（x+a）²-（2a）²=（x+3a）（x-a）．
像這樣，先添-適當項，使式中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a²-6a+8．
（2）若a+b=5，ab=6，求：①a²+b²；②a⁴+b⁴的值．
（3）已知x是實數，試比較x²-4x+5與-x²+4x-4的大小，說明理由．

Answer 1

解：（1）a²-6a+8，
=a²-6a+9-1，
=（a-3）²-1，
=（a-3-1）（a-3+1），
=（a-2）（a-4）；

（2）a²+b²，
=（a+b）²-2ab，
=5²-2×6，
=13；
a⁴+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²，
=13²-2×6²，
=97；

（3）∵x²-4x+5，
=x²-4x+4+1，
=（x-2）²+1≥1＞0
-x²+4x-4，
=-（x²-4x+4），
=-（x-2）²≤0
∴x²-4x+5＞-x²+4x-4．
（若用”作差法”相應給分）
分析：（1）加1再減1，可以組成完全平方式；
（2）①加2ab再減2ab可以組成完全平方式；②在①得基礎上，加2a²b²再減2a²b²，可以組成完全平方式；
（3）把所給的代數式進行配方，然后比較即可．
點評：本題考查十字相乘法分解因式，三道題都是圍繞配方法作答，配方法是數學習題里經常出現的方法，應熟練掌握，（1）實質上是十字相乘法分解因式．