Question

【題目】如圖，已知點C（4，0）是正方形AOCB的一個頂點，直線PC交AB于點E，若E是AB的中點.

（1）求點E的坐標；

（2）求直線PC的解析式；

（3）若點P是直線PC在第一象限的一個動點，當點P運動到什么位置時，圖中存在與△AOP全等的三角形？請求出P點的坐標，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點E的坐標為（2，4）；（2）直線PC的解析式為y=﹣2x+8；（3）點P坐標為（2，4）或（， ）.

【解析】試題分析：（1）因為E是AB中點，計算出A和B的坐標即可算出E的坐標；
（2）根據E和C的坐標即可求出直線PC的解析式；
（3）根據全等三角形的判定方法，找出全部的點P即可．

試題解析：（1）∵四邊形AOCB是正方形，C（4，0），∴點B（4，4），C（4，0），

∵E是AB的中點，∴點E的坐標為（2，4）.

（2）設直線PC的解析式為y=kx+b，將點E（2，4）、C（4，0）代入y=kx+b中，

得： ，解得： ，

∴直線PC的解析式為y=﹣2x+8.

（3）有兩種情況，如圖所示.

①當點P與點E重合時，

在△OAE和△CBE中， ，∴△OAE≌△CBE（SAS），

此時點P坐標為（2，4）；

②當AP等于CP時，

在△AOP和△COP中， ，∴△AOP≌△COP（SSS），∴∠AOP=∠COP=45°，

∴直線OP的解析式為y=x.

聯立直線OP、PC的解析式得： ，解得： ，

∴此時點P的坐標為（， ）.