Question

（2002•宜昌）如圖，扇形DEF的圓心角∠FDE=90°點D（d，0）在點E的左側，d為大于0的實數，直線y=x與交于點M，OM=2（O是坐標原點），以直線DF為對稱軸的拋物線y=x²+px+q與x軸交于點E，
（1）求點E的坐標；
（2）拋物線y=x²+px+q與x軸的交點有可能都在原點的右側嗎？請說明理由；
（3）設拋物線y=x²+px+q的頂點到x軸的距離為h，求h的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據d的取值范圍和直線OM的函數圖象確定點M所在的象限，然后設出點M的坐標，利用OM的長和直線OM的解析式，求出點M的坐標，進而可由勾股定理求出DM的長，由于DM、DE都是扇形DEF的半徑，因此DM=DE，即可求得DE的值，從而得到點E的坐標．
（2）根據拋物線的對稱軸為DF，可用d表示出p的值，然后將E點坐標代入拋物線的解析式中，可用d表示出q的值，進而可得到拋物線的解析式；設拋物線與x軸的兩交點的橫坐標為x₁、x₂，由韋達定理可得x₁x₂的表達式，然后根據d的取值范圍來判斷x₁x₂的符號，若x₁x₂大于0，則說明兩個交點有可能都在原點右側，反之則不能．
（3）首先求出拋物線的頂點坐標，用含d的式子表示出h，即可得關于h、d的函數關系式，結合d的取值范圍和函數的性質，即可得到h的取值范圍．
解答：解：（1）過M作MH⊥x軸于H，連接DM，設M（a，b）；
由于d＞0，所以E在x正半軸上，扇形OEF在第一、四象限；
而直線y=x經過一、三象限，故點M在第一象限；
∴a＞0，b＞0，OH=a，MH=b；
由于M在直線y=x上，
故b=a，而OM=2，即：
（a）²+a²=4，
解得a=1，b=，
即M（1，）；
∴DM==，
∴OE=+d，
故E（+d，0）．

（2）設拋物線與x軸的另一個交點為N；
已知直線DF是拋物線的對稱軸，則d=-，即p=-2d；
將點E坐標代入拋物線的解析式中，得：
（+d）²-2d（+d）+q=0，
整理得：q=2d-4；
即拋物線的解析式為：y=x²-2dx+2d-4；
∵DH=1-d≥0，故0＜d≤1，
∴x₁x₂=q=2d-4＜0，
即x₁、x₂異號，
所以拋物線于x軸兩個交點不可能都在原點右側．

（3）由y=x²-2dx+2d-4=（x-d）²-d²+2d-4，得：
拋物線的頂點坐標為：（d，-d²+2d-4），
又h=|-d²+2d-4|=（d-1）²+3≥3＞0，
∴h=d²-2d+4為關于d的二次函數；
在0＜d≤1的范圍內，h隨d的增大而減小，
∴3≤h＜4．
點評：此題考查了勾股定理、根與系數的關系、二次函數解析式的確定、二次函數的增減性等知識，綜合性強，難度較大．