Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交于點H，AC的延長線與過點B的直線相交于點E，且∠A=∠EBC．

（1）求證：BE是⊙O的切線；

（2）已知CG∥EB，且CG與BD、BA分別相交于點F、G，若BGBA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）欲證明BE是⊙O的切線，只要證明∠EBD=90°．

（2）由△ABC∽△CBG，得求出BC，再由△BFC∽△BCD，得=BFBD求出BF，CF，CG，GB，再通過計算發現CG=AG，進而可以證明CH=CB，求出AC即可解決問題．

（1）連接CD，

∵BD是直徑，

∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，

∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，

∴∠CBD+∠EBC=90°，

∴BE⊥BD，

∴BE是⊙O切線．

（2）∵CG∥EB，

∴∠BCG=∠EBC，

∴∠A=∠BCG，

∵∠CBG=∠ABC

∴△ABC∽△CBG，

∴，即=BGBA=48，

∴BC=，

∵CG∥EB，

∴CF⊥BD，

∴△BFC∽△BCD，

∴=BFBD，

∵DF=2BF，

∴BF=4，

在RT△BCF中，CF==，

∴CG=CF+FG=，

在RT△BFG中，BG==，

∵BGBA=48，

∴BA=，即AG=，

∴CG=AG，

∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，

∴∠CHF=∠CBF，∴CH=CB=，

∵△ABC∽△CBG，

∴，

∴AC==，

∴AH=AC﹣CH=．