Question

【題目】某藥廠銷售部門根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研結(jié)果，對(duì)該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的銷售進(jìn)行預(yù)測(cè)，井建立如下模型：設(shè)第t個(gè)月該原料藥的月銷售量為P（單位：噸），P與t之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系，其圖象是函數(shù)P=（0＜t≤8）的圖象與線段AB的組合；設(shè)第t個(gè)月銷售該原料藥每噸的毛利潤(rùn)為Q（單位：萬(wàn)元），Q與t之間滿足如下關(guān)系：Q=

（1）當(dāng)8＜t≤24時(shí)，求P關(guān)于t的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)第t個(gè)月銷售該原料藥的月毛利潤(rùn)為w（單位：萬(wàn)元）

①求w關(guān)于t的函數(shù)解析式；

②該藥廠銷售部門分析認(rèn)為，336≤w≤513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷售的月毛利潤(rùn)范圍，求此范圍所對(duì)應(yīng)的月銷售量P的最小值和最大值．

Answer 1

【答案】（1）P=t+2；（2）①當(dāng)0＜t≤8時(shí)，w=240；當(dāng)8＜t≤12時(shí)，w=2t2+12t+16；當(dāng)12＜t≤24時(shí)，w=﹣t2+42t+88；②此范圍所對(duì)應(yīng)的月銷售量P的最小值為12噸，最大值為19噸．

【解析】（1）設(shè)8＜t≤24時(shí)，P=kt+b，將A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P=t+2；

（2）①分0＜t≤8、8＜t≤12和12＜t≤24三種情況，根據(jù)月毛利潤(rùn)=月銷量×每噸的毛利潤(rùn)可得函數(shù)解析式；

②求出8＜t≤12和12＜t≤24時(shí)，月毛利潤(rùn)w在滿足336≤w≤513條件下t的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得P的最大值與最小值，二者綜合可得答案．

（1）設(shè)8＜t≤24時(shí)，P=kt+b，

將A（8，10）、B（24，26）代入，得：

，

解得：，

∴P=t+2；

（2）①當(dāng)0＜t≤8時(shí)，w=（2t+8）×=240；

當(dāng)8＜t≤12時(shí)，w=（2t+8）（t+2）=2t2+12t+16；

當(dāng)12＜t≤24時(shí)，w=（-t+44）（t+2）=-t2+42t+88；

②當(dāng)8＜t≤12時(shí)，w=2t2+12t+16=2（t+3）2-2，

∴8＜t≤12時(shí)，w隨t的增大而增大，

當(dāng)2（t+3）2-2=336時(shí)，解題t=10或t=-16（舍），

當(dāng)t=12時(shí)，w取得最大值，最大值為448，

此時(shí)月銷量P=t+2在t=10時(shí)取得最小值12，在t=12時(shí)取得最大值14；

當(dāng)12＜t≤24時(shí)，w=-t2+42t+88=-（t-21）2+529，

當(dāng)t=12時(shí)，w取得最小值448，

由-（t-21）2+529=513得t=17或t=25，

∴當(dāng)12＜t≤17時(shí)，448＜w≤513，

此時(shí)P=t+2的最小值為14，最大值為19；

綜上，此范圍所對(duì)應(yīng)的月銷售量P的最小值為12噸，最大值為19噸．