Question

【題目】如圖，在直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸正半軸上，點B的坐標是（5，2），點P是CB邊上一動點（不與點C、點B重合），連結OP、AP，過點O作射線OE交AP的延長線于點E，交CB邊于點M，且∠AOP=∠COM，令CP=x，MP=y．

（1）求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（2）當x為何值時，OP⊥AP？

（3）在點P的運動過程中，是否存在x，使△OCM的面積與△ABP的面積之和等于△EMP的面積？若存在，請求x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）()；（2）當時，；（3）存在，

【解析】

（1）證明，得到，得到x、y的函數關系式，

（2）若OP⊥AP，則可證得，得到關于x的方程，解方程，把不合題意值舍去即可；

（3）過E作于點D，交MP于點F，證明，得到關于y的方程，求出y，在根據（1）求出x，把不合題意值舍去即可．

（1）如圖，∵BC∥OA，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴，即．

∴，x的取值范圍是．

（2）如圖，由題意知，

，，，，

∵，∴．

∴．∴．

∴，即，解得，（不合題意，舍去）．

∴當時，．

（3）假設存在x符合題意．

如圖，過E作于點D，交MP于點F，則．

∵與面積之和等于的面積，

∴．

∴，．

∵PM∥OA，

∴．

∴．

即，解得．

∴由（2）得，．

解得，，（不合題意舍去）．

∴在點P的運動過程中，存在，使與面積之和等于的面積．