Question

如圖，在直角體系中，直線AB交x軸于點A（5，0），交y軸于點B，AO是⊙M的直徑，其半圓交AB于點C，且AC=3。取BO的中點D，連接CD、MD和OC。

（1）求證：CD是⊙M的切線；
（2）二次函數的圖象經過點D、M、A，其對稱軸上有一動點P，連接PD、PM，求△PDM的周長最小時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，當△PDM的周長最小時，拋物線上是否存在點Q，使？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）證明：連接CM， 

∵OA 為⊙M直徑，∴∠OCA=90°。∴∠OCB=90°。
∵D為OB中點，∴DC=DO。∴∠DCO=∠DOC。
∵MO=MC，∴∠MCO=∠MOC。
∴。
又∵點C在⊙M上，∴DC是⊙M的切線。
（2）∵A點坐標（5，0），AC=3
∴在Rt△ACO中，。
∴，∴，解得 。
又∵D為OB中點，∴。∴D點坐標為（0，)。
連接AD，設直線AD的解析式為y=kx+b，則有
解得。
∴直線AD為。
∵二次函數的圖象過M（，0)、A(5，0)，
∴拋物線對稱軸x=。
∵點M、A關于直線x=對稱，設直線AD與直線x=交于點P，
∴PD+PM為最小。
又∵DM為定長，∴滿足條件的點P為直線AD與直線x=的交點。
當x=時，。
∴P點的坐標為（，）。
（3）存在。
∵，
又由（2）知D（0，)，P（，），
∴由，得，解得y_Q=±^。
∵二次函數的圖像過M(0，)、A(5，0），
∴設二次函數解析式為，
又∵該圖象過點D（0，)，∴，解得a=。
∴二次函數解析式為。
又∵Q點在拋物線上，且y_Q=±。
∴當y_Q=時，，解得x=或x=；
當y_Q=時，，解得x=。
∴點Q的坐標為（，)，或（，)，或（，）。

試題分析：（1）連接CM，可以得出CM=OM，就有∠MOC=∠MCO，由OA為直徑，就有∠ACO=90°，D為OB的中點，就有CD=OD，∠DOC=∠DCO，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出結論。
（2）根據條件可以得出和，從而求出OB的值，根據D是OB的中點就可以求出D的坐標，由待定系數法就可以求出拋物線的解析式，求出對稱軸，根據軸對稱的性質連接AD交對稱軸于P，先求出AD的解析式就可以求出P的坐標。
（3）根據，求出Q的縱坐標，求出二次函數解析式即可求得橫坐標。