Question

【題目】如圖1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．

（1）若∠E＝50°，請直接寫出∠F的度數；

（2）探索∠E與∠F之間滿足的數量關系，并說明理由；

（3）如圖2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延長線交EP于點P，求∠P的度數．

Answer 1

【答案】（1）100°；（2）∠F＝∠E+50°，理由見解析；（3）∠P＝25°

【解析】

（1）如圖1，分別過點E，F作EM∥AB，FN∥AB，根據平行線的性質得到∠B=∠BEM=20°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入數據即可得到結論；
（2）如圖1，根據平行線的性質得到∠B=∠BEM=20°，∠MEF=∠EFN，由AB∥CD，AB∥FN，得到CD∥FN，根據平行線的性質得到∠D+∠DFN=180°，于是得到結論；
（3）如圖2，過點F作FH∥EP，設∠BEF=2x°，則∠EFD=（2x+50）°，根據角平分線的定義得到∠PEF=∠BEF=x°，∠EFG=∠EFD=（x+25）°，根據平行線的性質得到∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，于是得到結論．

解：（1）如圖1，分別過點E，F作EM∥AB，FN∥AB，

∴EM∥AB∥FN，

∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，

又∵AB∥CD，AB∥FN，

∴CD∥FN，

∴∠D+∠DFN＝180°，

又∵∠D＝110°，

∴∠DFN＝70°，

∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，

∴∠EFD＝∠MEF+70°

∴∠EFD＝∠BEF+50°＝100°；

故答案為：100°；

（2）如圖1，分別過點E，F作EM∥AB，FN∥AB，

∴EM∥AB∥FN，

∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，

又∵AB∥CD，AB∥FN，

∴CD∥FN，

∴∠D+∠DFN＝180°，

又∵∠D＝110°，

∴∠DFN＝70°，

∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，

∴∠EFD＝∠MEF+70°，

∴∠EFD＝∠BEF+50°；

（3）如圖2，過點F作FH∥EP，

由（2）知，∠EFD＝∠BEF+50°，

設∠BEF＝2x°，則∠EFD＝（2x+50）°，

∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，

∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+25）°，

∵FH∥EP，

∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，

∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝25°，

∴∠P＝25°．