Question

【題目】已知直線l：y=kx和拋物線C：y=ax2+bx+1．
（Ⅰ）當k=1，b=1時，拋物線C：y=ax2+bx+1的頂點在直線l：y=kx上，求a的值；
（Ⅱ）若把直線l向上平移k2+1個單位長度得到直線r，則無論非零實數k取何值，直線r與拋物線C都只有一個交點；
（i）求此拋物線的解析式；
（ii）若P是此拋物線上任一點，過點P作PQ∥y軸且與直線y=2交于點Q，O為原點，求證：OP=PQ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）將k=1，b=1代入代入得：拋物線的解析式為y=ax2+x+1，直線的解析式為y=x．

∵y=ax2+x+1=a（x+ ）2+1﹣ ，

∴拋物線的頂點為（﹣ ，1﹣ ）．

∵拋物線的頂點在直線y=x上，

∴﹣ =1﹣ ，解得：a=﹣ ．

（Ⅱ）（i）將直線y=kx向上平移k2+1個單位，所得直線的解析式為y=kx+k2+1．

∵無論非零實數k取何值，直線與拋物線都只有一個交點，

∴方程kx+k2+1=ax2+bx+1有兩個相等的實數根，即ax2+（b﹣k）x﹣k2=0有兩個相等的實數根，

∴△=（b﹣k）2+4ak2=（4a+1）k2﹣2bk+b2=0．

∵無論非零實數k取何值時，（4a+1）k2﹣2bk+b2=0恒成立，

∴4a+1=0且b=0，

∴a=﹣ ，b=0．

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+1．

（ii）證明：根據題意，畫出圖象如圖所示：

設點P的坐標為（x，﹣ x2+1）則點Q的坐標為（x，2），D（x，0）．

∴PD=|﹣ x2+1|，OD=|x|，QP=2﹣（﹣ x2+1）= x2+1．

在Rt△OPD中，依據勾股定理得：OP= = = x2+1．

∴OP=PQ

【解析】（1）利用配方法求出頂點坐標，代入y=x中即可;（2）可聯立直線和拋物線解析式得到的方程判別式恒等于0，可得出a、b的值；（3）可表示出OP,PQ,證得二者相等.
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點才能正確解答此題．