Question

已知，如圖△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=

3

，BD=2

3

，求平分線AD的長，AB，AC的長，外接圓的面積，內切圓的面積．

Answer 1

分析：首先設AC的長為x，過D作DE垂直AB于點E．根據角平分線的性質定理及相似三角形的性質，可得到關系式4x²=27+x²，解得x即為AC的長，再利用勾股定理求得AB、AD的長．根據直角三角形內切圓的性質、外接圓的性質，求得其半徑，根據圓的面積計算公式即可求出結果．

解答：解：設AC的長為x，過D作DE垂直AB于點E，
則BC=BD+DC=3

3

，AB=

BC2+AC2

=

(3 3 )2+x2

=

27 +x2

，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
∵Rt△BED∽Rt△BCA，
∴

DE

AC

=

BD

BA

，
即

3

x

=

2 3

27 +x2

?4x²=27+x²，
解得x=3或x=-3（不合題意舍去），
AD=

AC2+CD2

=

32+( 3 )2

=2

3

，
∴AB=

27 +32

=6，
顯然可知AB為Rt△ABC的外接圓的直徑，
∴Rt△ABC外接圓的面積=π•3²=9π，
Rt△ABC內切圓的半徑=

BC•AC

AB+AC+BC

=

3 3 •3

6+3+3 3

=

3( 3 -1)

2

，
Rt△ABC內切圓的面積=π•(

3( 3 -1)

2

)2=（9-

9 3

2

）π．
答：平分線AD的長為2

3

，AB的長為6，AC的長3，外接圓的面積為9π，內切圓的面積是（9-

9 3

2

）π．

點評：本題考查三角形內切圓與內心、勾股定理、角平分線的性質、三角形外接圓與外心、相似三角形的性質．解決本題的關鍵是首先設AC為x，通過作輔助線DE建立起邊間的關系，列出關系式4x²=27+x²，使問題得解．