【題目】如圖，把一個邊長為a的正方形分成9個完全相同的小正方形，把最中間的一個小正方形涂成白色（圖①），再對其他8個小正方形作同樣的分割（分成9個完全相同的小正方形，把最中間的一個小正方形涂成白色（圖②），繼續同樣的方法分割圖形（圖③），…得到一些既復雜又漂亮的圖形，它的每一部分放大，都和整體一模一樣，它是波蘭數學家謝爾賓斯基構造的，也被稱為“謝爾賓斯基地毯”．求：
（1）圖③中最新的一個最小正方形的邊長；
（2）圖③中所有涂黑部分的面積．
【答案】（1）
a；（2）
a2．
【解析】
（1）觀察圖形的變化：每分割一次新的正方形的邊長是上一個正方形邊長的
，按此規律即可求解；
（2）觀察圖形的變化：圖①中涂黑部分所有正方形的面積是
a，圖②中涂黑部分所有正方形的面積為（）2a2，進而求解．
解：（1）觀察圖形的變化可知：
每分割一次，新的正方形的邊長是上一個正方形的邊長的，
所以圖③中新的一個最小的正方形的邊長為
a＝a；
答：圖③中新的一個最小正方形的邊長為a；
（2）觀察圖形的變化可知：
圖①中，涂黑部分正方形的面積為a，
圖②中，涂黑部分所有正方形的面積為（）2a2＝
a2，
圖③中，涂黑部分所有正方形的面積為（）3a2＝a2．
答：圖③中，涂黑部分所有正方形的面積為a2．
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線
與
軸交于點
，與
軸交于
兩點，其對稱軸與軸交于點
.
（1）求拋物線的解析式和對稱軸；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點
，使
的周長最小？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）連接
，在直線的下方的拋物線上，是否存在一點
，使
的面積最大？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知四邊形ABCD內接于⊙O，A是
的中點，AE⊥AC于A，與⊙O及CB的延長線交于點F，E，且
.
(1)求證：△ADC∽△EBA；
(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+ax+b交x軸于A（1，0），B（3，0）兩點，點P是拋物線上在第一象限內的一點，直線BP與y軸相交于點C．
（1）求拋物線y=﹣x2+ax+b的解析式；
（2）當點P是線段BC的中點時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，求sin∠OCB的值．
【答案】(1) y=﹣x2+4x﹣3；(2) 點P的坐標為（
，
）；(3) 
.
【解析】分析：（1）將點A、B代入拋物線y=-x2+ax+b，解得a，b可得解析式；
（2）由C點橫坐標為0可得P點橫坐標，將P點橫坐標代入（1）中拋物線解析式，易得P點坐標；
（3）由P點的坐標可得C點坐標，A、B、C的坐標，利用勾股定理可得BC長，利用sin∠OCB=
可得結果．
詳解：（1）將點A、B代入拋物線y=﹣x2+ax+b可得，
，
解得，a=4，b=﹣3，
∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+4x﹣3；
（2）∵點C在y軸上，
所以C點橫坐標x=0，
∵點P是線段BC的中點，
∴點P橫坐標xP=
=
，
∵點P在拋物線y=﹣x2+4x﹣3上，
∴yP=
﹣3=
，
∴點P的坐標為（，）；
（3）∵點P的坐標為（，
），點P是線段BC的中點，
∴點C的縱坐標為2×﹣0=
，
∴點C的坐標為（0，），
∴BC=
=
，
∴sin∠OCB=
=
=
．
點睛：本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數圖像與性質，解直角三角形，勾股定理，利用中點求得點P的坐標是解答此題的關鍵．
【題型】解答題
【結束】
24
【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，∠ABC=30°，過點B作⊙O的切線BD，與CA的延長線交于點D，與半徑AO的延長線交于點E，過點A作⊙O的切線AF，與直徑BC的延長線交于點F．
（1）求證：△ACF∽△DAE；
（2）若S△AOC=
，求DE的長；
（3）連接EF，求證：EF是⊙O的切線．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，∠ABC=30°，過點B作⊙O的切線BD，與CA的延長線交于點D，與半徑AO的延長線交于點E，過點A作⊙O的切線AF，與直徑BC的延長線交于點F．
（1）求證：△ACF∽△DAE；
（2）若S△AOC=
，求DE的長；
（3）連接EF，求證：EF是⊙O的切線．
【答案】(1) 見解析; (2)3
;(3)見解析.
【解析】試題分析：（1）根據圓周角定理得到∠BAC=90°，根據三角形的內角和得到∠ACB=60°根據切線的性質得到∠OAF=90°，∠DBC=90°，于是得到∠D=∠AFC=30°由相似三角形的判定定理即可得到結論；
（2）根據S△AOC=，得到S△ACF=，通過△ACF∽△DAE，求得S△DAE=
，過A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到AH=
DH=
DE，由三角形的面積公式列方程即可得到結論；
（3）根據全等三角形的性質得到OE=OF，根據等腰三角形的性質得到∠OFG=
（180°﹣∠EOF）=30°，于是得到∠AFO=∠GFO，過O作OG⊥EF于G，根據全等三角形的性質得到OG=OA，即可得到結論．
試題解析：（1）證明：∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，∵∠ABC=30°，∴∠ACB=60°
∵OA=OC，∴∠AOC=60°，∵AF是⊙O的切線，∴∠OAF=90°，∴∠AFC=30°，∵DE是⊙O的切線，∴∠DBC=90°，∴∠D=∠AFC=30，∵∠DAE=ACF=120°，∴△ACF∽△DAE；
（2）∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60°，∴∠CAF=30°，∴∠CAF=∠AFC，∴AC=CF，∴OC=CF，∵S△AOC=，∴S△ACF=，∵∠ABC=∠AFC=30°，∴AB=AF，∵AB=BD，∴AF=BD，∴∠BAE=∠BEA=30°，∴AB=BE=AF，∴
，∵△ACF∽△DAE，∴
=
，∴S△DAE=，過A作AH⊥DE于H，∴AH=DH=DE，∴S△ADE=DEAH=×
=，∴DE=
；
（3）∵∠EOF=∠AOB=120°，∴∠OEB=∠AFO，在△AOF與△BOE中，∵∠OBE=∠OAF，∠OEB=∠AFO，OA=OB，∴△AOF≌△BEO，∴OE=OF，∴∠OFG=（180°﹣∠EOF）=30°，∴∠AFO=∠GFO，過O作OG⊥EF于G，∴∠OAF=∠OGF=90°，在△AOF與△OGF中，∵∠OAF=∠OGF，∠AFO=∠GFO，OF=OF，∴△AOF≌△GOF，∴OG=OA，∴EF是⊙O的切線．
【題型】解答題
【結束】
25
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，四邊形ABCO是矩形，點A，C的坐標分別是A（0，2）和C（2，0），點D是對角線AC上一動點（不與A，C重合），連結BD，作DE⊥DB，交x軸于點E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF．
（1）填空：點B的坐標為 ；
（2）是否存在這樣的點D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，請求出AD的長度；若不存在，請說明理由；
（3）①求證：
；
②設AD=x，矩形BDEF的面積為y，求y關于x的函數關系式（可利用①的結論），并求出y的最小值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在數軸上點A表示數a，點B表示數b，a、b滿足|a﹣20|+（b+10）2＝0，O是數軸原點，點Q從點B出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸正方向勻速運動，設運動時間為t秒．
（1）點A表示的數為 ，點B表示的數為 ．
（2）t為何值時，BQ＝2AQ．
（3）若在點Q從點B出發的同時，點P從點O出發，以每秒2個單位長度的速度一直沿數軸正方向勻速運動，而點Q運動到點A時，立即改變運動方向，沿數軸的負方向運動，到達點B時停止運動，在點Q的整個運動過程中，是否存在合適的t值，使得PQ＝6？若存在，求出所有符合條件的t值，若不存在，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】（本題8分）為培養學生數學學習興趣，某校七年級準備開設“神奇魔方”、“魅力數獨”、“數學故事”、“趣題巧解”四門選修課（每位學生必須且只選其中一門）．
（1）學校對七年級部分學生進行選課調查，得到如圖所示的統計圖，根據該統計圖，請估計該校七年級480名學生選“數學故事”的人數。
（2）學校將選“數學故事”的學生分成人數相等的A，B，C三個班，小聰、小慧都選擇了“數學故事”，已知小聰不在A班，求他和小慧被分到同一個班的概率．（要求列表或畫樹狀圖）
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形ABCD的面積為20cm2，對角線交于點O；以AB、AO為鄰邊做平行四邊形AOC1B，對角線交于點O1；以AB、AO1為鄰邊做平行四邊形AO1C2B；…依此類推，則平行四邊形AO4C5B的面積為（ ）
A. 
cm2 B. 
cm2 C. 
cm2 D. 
cm2
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,已知拋物線y=
x2+bx+c經過△ABC的三個頂點,其中點A(0,1),B(9,10),AC∥x軸，點P是直線AC下方拋物線上的動點。
(1)求拋物線的解析式；
(2)過點P且與y軸平行的直線l與直線AB、AC分別交于點E.F，當四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標和四邊形AECP的最大面積；
(3)當點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C.P、Q為頂點的三角形與△ABC相似?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。
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