Question

【題目】如圖1，AB為半圓的直徑，O為圓心，C為圓弧上一點，AD垂直于過C點的切線，垂足為D，AB的延長線交直線CD于點E．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）若AB=4，B為OE的中點，CF⊥AB，垂足為點F，求CF的長；

（3）如圖2，連接OD交AC于點G，若=，求sin∠E的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）CF=；

（3）sin∠E=．

【解析】

試題分析：（1）連結OC，如圖1，根據切線的性質得OC⊥DE，而AD⊥DE，根據平行線的性質得OC∥AD，所以∠2=∠3，加上∠1=∠3，則∠1=∠2，所以AC平分∠DAB；

（2）如圖1，由B為OE的中點，AB為直徑得到OB=BE=2，OC=2，在Rt△OCE中，由于OE=2OC，根據含30度的直角三角形三邊的關系得∠OEC=30°，則∠COE=60°，由CF⊥AB得∠OFC=90°，所以∠OCF=30°，再根據含30度的直角三角形三邊的關系得OF=OC=1，CF=OF=；

（3）連結OC，如圖2，先證明△OCG∽△DAG，利用相似的性質得==，再證明△ECO∽△EDA，利用相似比得到==，設⊙O的半徑為R，OE=x，代入求得OE=3R；最后在Rt△OCE中，根據正弦的定義求解．

試題解析：（1）連結OC，如圖1，∵DE與⊙O切于點C，∴OC⊥DE，

∵AD⊥DE，∴OC∥AD，∴∠2=∠3，∵OA=OC，∴∠1=∠3，

∴∠1=∠2，

即AC平分∠DAB；

（2）如圖1，

∵直徑AB=4，B為OE的中點，

∴OB=BE=2，OC=2，

在Rt△OCE中，OE=2OC，

∴∠OEC=30°，

∴∠COE=60°，∵CF⊥AB，∴∠OFC=90°，∴∠OCF=30°，∴OF=OC=1，CF=OF=；

（3）連結OC，如圖2，∵OC∥AD，∴△OCG∽△DAG，∴==，∵OC∥AD，

∴△ECO∽△EDA，∴==，設⊙O的半徑為R，OE=x，∴=，解得OE=3R，

在Rt△OCE中，sin∠E===．