Question

【題目】如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM、△CBN是等邊三角形，直線AN、MC交于點(diǎn)E，直線BM、CN交于點(diǎn)F．

（1）求證：AN=MB；
（2）求證：△CEF為等邊三角形；
（3）將△ACM繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，其它條件不變，在圖②中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷（1）題中的結(jié)論是否依然成立，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△ACM，△CBN是等邊三角形，

∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°，∠NCB=60°．

在△CAN和△MCB中， ，

∴△CAN≌△MCB（SAS），

∴AN=BM

（2）

證明：∵△CAN≌△MCB，

∴∠CAN=∠CMB．

∵∠MCF=180°﹣∠ACM﹣∠NCB=60°．

∴∠MCF=∠ACE．

在△CAE和△CMF中， ，

∴△CAE≌△CMF（ASA）

∴CE=CF，

∴△CEF為等腰三角形，

∴∠ECF=60°，

∴△CEF為等邊三角形

（3）

證明：解：如圖，

連接AN，BM．

∵△ACM、△CBN是等邊三角形

∴AC=MC，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACN=∠BCM．

在△ACN與△MCB中， ，

∴△ACN≌△MCB（SAS）．

∴AN=BM．

即：結(jié)論1，AN=BM，成立

【解析】（1）可通過全等三角形來得出簡單的線段相等，證明AN=BM，只要求出三角形ACN和MCB全等即可，這兩個三角形中，已知的條件有AC=MC，NC=CB，只要證明這兩組對應(yīng)邊的夾角相等即可，我們發(fā)現(xiàn)∠ACN和∠MCB都是等邊三角形的外角，因此它們都是120°，這樣就能得出兩三角形全等了．也就證出了AN=BM．（2）我們不難發(fā)現(xiàn)∠ECF=180﹣60﹣60=60°，因此只要我們再證得兩條邊相等即可得出三角形ECF是等邊三角形，可從EC，CF入手，由（1）的全等三角形我們知道，∠MAC=∠BMC，又知道了AC=MC，∠MCF=∠ACE=60°，那么此時三角形AEC≌三角形MCF，可得出CF=CE，于是我們再根據(jù)∠ECF=60°，便可得出三角形ECF是等邊三角形的結(jié)論．（3）通過證明三角形ACN和BCM來求得．這兩個三角形中MC=AC，NC=BC，∠MCB和∠ACN都是60°+∠ACB，因此兩三角形就全等，AN=BM，結(jié)論1正確．