Question

（2009•懷化）如圖，已知二次函數y=（x+m）²+k-m²的圖象與x軸相交于兩個不同的點A（x₁，0）、B（x₂，0），與y軸的交點為C．設△ABC的外接圓的圓心為點P．
（1）求⊙P與y軸的另一個交點D的坐標；
（2）如果AB恰好為⊙P的直徑，且△ABC的面積等于，求m和k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=0，代入拋物線解析式，即求得點C的坐標．由求根公式求得點A、B的橫坐標，得到點A、B的橫坐標的和與積，由相交弦定理求得OD的值，從而得到點D的坐標．
（2）當AB又恰好為⊙P的直徑，由垂徑定理知，點C與點D關于x軸對稱，故得到點C的坐標及k的值．根據一元二次方程的根與系數的關系式表示出AB線段的長，由三角形的面積公式表示出△ABC的面積，可求得m的值．
解答：解：（1）易求得點C的坐標為（0，k）
由題設可知x₁，x₂是方程（x+m）²+k-m²=0即x²+2mx+k=0的兩根，
所以x_1，2=，
所x₁+x₂=-2m，x₁•x₂=k（1分）
如圖，∵⊙P與y軸的另一個交點為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，設它們的交點為點O，連接DB，
∴△AOC∽△DOB，則OD=（2分）
由題意知點C在y軸的負半軸上，從而點D在y軸的正半軸上，
所以點D的坐標為（0，1）（3分）

（2）∵AB⊥CD，AB又恰好為⊙P的直徑，則C、D關于點O對稱，
所以點C的坐標為（0，-1），
即k=-1（4分）
又AB=|x₂-x₁|==，
所以S_△ABC=AB×OC=×2×1=，
解得m=±2．（正值舍去）（6分）
∴k=-1，m=-2．
點評：本題考查了一元二次方程的求根公式，根與系數的關系，相交弦定理，垂徑定理，三角形的面積公式．如何表示OD及AB的長是本題中解題的關鍵．