Question

【題目】（模型建立）（1）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于點D，過B作BE⊥ED于點E，求證：△BEC≌△CDA．

（模型應用）（2）①已知直線l1：y＝x+3與坐標軸交于點A、B，將直線l1繞點A逆時針旋轉45o至直線l2，如圖2，求直線l2的函數表達式；

②如圖3，長方形ABCO，O為坐標原點，點B的坐標為（8，﹣6），點A、C分別在坐標軸上，點P是線段BC上的動點，若△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，當點D在直線y＝﹣2x+5上時，直接寫出點D的坐標，并寫出整個運動過程中點D的縱坐標n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①y＝﹣5x﹣10；②D（3，﹣1）或，﹣10≤n≤﹣7或﹣2≤n≤1．

【解析】

（1）根據△ABC為等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定△ACD≌△CBE；
（2）①過點B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，根據△CBD≌△BAO，得出BD=AO=2，CD=OB=3，求得C（-3，5），最后運用待定系數法求直線l2的函數表達式；
②根據△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，當點D是直線y=-2x+5上的動點且在第四象限時，分兩種情況：當點D在矩形AOCB的內部時，當點D在矩形AOCB的外部時，設D（x，-2x+5），分別根據△ADE≌△DPF，得出AE=DF，據此列出方程進行求解即可．分兩種情形求出n的范圍即可；

解：（1）證明：如圖1，∵△ABC為等腰直角三角形，

∴CB＝CA，∠ACD+∠BCE＝90°，

又∵AD⊥ED，BE⊥ED，

∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，

∴∠ACD＝∠EBC，

在△ACD與△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）①如圖2，過點B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，

∵∠BAC＝45°，

∴△ABC為等腰直角三角形，

由（1）可知：△CBD≌△BAO，

∴BD＝AO，CD＝OB，

∵直線l1：y＝x+3中，若y＝0，則x＝﹣2；若x＝0，則y＝3，

∴A（﹣2，0），B（0，3），

∴BD＝AO＝2，CD＝OB＝3，

∴OD＝2+3＝5，

∴C（﹣3，5），

設l2的解析式為y＝kx+b，則

，
解得 ，

∴l2的解析式：y＝﹣5x﹣10；

②當點D是直線y＝﹣2x+5上的動點且在第四象限時，分兩種情況：

當點D在矩形AOCB的內部時，如圖中，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，

設D（x，﹣2x+5），則OE＝2x﹣5，AE＝6﹣（2x﹣5）＝11﹣2x，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，

由（1）可得，△ADE≌△DPF，則DF＝AE，

即：11﹣2x＝8﹣x，

解得x＝3，

∴﹣2x+5＝﹣1，

∴D（3，﹣1），

此時，PF＝ED＝3，CP＝4＜CB，符合題意；

當點D在矩形AOCB的外部時，如圖中，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，

設D（x，﹣2x+5），則OE＝2x﹣5，AE＝OE﹣OA＝2x﹣5﹣6＝2x﹣11，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，

同理可得：△ADE≌△DPF，則AE＝DF，

即：2x﹣11＝8﹣x，

解得x=，
∴-2x+5=-，
∴D（ ，-），
此時，ED=PF=，PB＜6，符合題意．
故滿足條件的點D（3，-1）或（），
①當點D在AP下方時，點P與B重合時，D（4，﹣10）；點P與C重合時，D（7，﹣7），

∴﹣10≤n≤﹣7．

②當點D在AP上方時，點P與B重合時，D（4，﹣2）；點P與C重合時，D（1，1），

∴﹣2≤n≤1．

綜上所述，﹣10≤n≤﹣7或﹣2≤n≤1．