Question

【題目】如圖，在ABDC中，分別取AC、BD的中點E和F，連接BE、CF，過點A作AP∥BC，交DC的延長線于點P．
（1）求證：△ABE≌△DCF；
（2）當∠P滿足什么條件時，四邊形BECF是菱形？證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在ABDC中，∠BAC=∠D，AB=CD，AC=BD，

∵E、F分別是AC、BD的中點，

∴AE=DF，

在△ABE和△DCF中， ，

∴△ABE≌△DCF（SAS）；

（2）解：∠P=90°時，四邊形BECF是菱形．理由如下：

在ABCD中，AB∥CD，

∵AP∥BC，

∴四邊形ABCP是平行四邊形，

∴∠ABC=∠P=90°，

∵E是AC的中點，

∴BE=CE= AC，

∵E、F分別是AC、BD的中點，

∴BF=CE，

又∵AC∥BD，

∴四邊形BECF是平行四邊形，

∴四邊形BECF是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．

【解析】（1）根據平行四邊形的對角相等可得∠BAC=∠D，對邊相等可得AB=CD，AC=BD，再根據中點定義求出AE=DF，然后利用“邊角邊”證明即可；（2）∠P=90°時，四邊形BECF是菱形．先判斷出四邊形ABCP是平行四邊形，根據平行四邊形的對角相等可得∠ABC=∠P，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BE=CE，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形BECF是平行四邊形，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質和菱形的判定方法的相關知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形才能正確解答此題．