Question

【題目】已知拋物線p：y=ax2+bx+c的頂點為C，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B左側），點C關于x軸的對稱點為C′，我們稱以A為頂點且過點C′，對稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“夢之星”拋物線，直線AC′為拋物線p的“夢之星”直線．若一條拋物線的“夢之星”拋物線和“夢之星”直線分別是y=x2+2x+1和y=2x+2，則這條拋物線的解析式為 ．

Answer 1

【答案】y=x2﹣2x﹣3
【解析】解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，

∴A點坐標為（﹣1，0），

解方程組 得 或 ，

∴點C′的坐標為（1，4），

∵點C和點C′關于x軸對稱，

∴C（1，﹣4），

設原拋物線解析式為y=a（x﹣1）2﹣4，

把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，

∴原拋物線解析式為y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．

所以答案是y=x2﹣2x﹣3．

【考點精析】掌握二次函數的性質和拋物線與坐標軸的交點是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．