Question

（2002•東城區）在Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊c=5，兩直角邊的長a，b是關于x的一元二次方程x²-mx+2m-2=0的兩個根，求Rt△ABC中較小銳角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：根據一元二次方程的根與系數的關系求得m的值后，再求得方程的解，求出較小銳角的正弦值．
解答：解：∵a，b是方程x²-mx+2m-2=0的解，
∴a+b=m，ab=2m-2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，a²+b²=c²，
而a²+b²=（a+b）²-2ab，c=5，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=25，
即：m²-2（2m-2）=25
解得，m₁=7，m₂=-3，
∵a，b是Rt△ABC的兩條直角邊的長．
∴a+b=m＞0，m=-3不合題意，舍去．
∴m=7，
當m=7時，原方程為x²-7x+12=0，
解得，x₁=3，x₂=4，
不妨設a=3，則sinA==，
∴Rt△ABC中較小銳角的正弦值為．
點評：本題難度較大，利用了一元二次方程的根與系數的關系，勾股定理，正弦的概念求解．