Question

如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，BC=2，以線段BC的中點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，連結(jié)OA交⊙O于點(diǎn)M
（1）若∠ABO=120°，AO是∠BAD的平分線，求

BM

的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，AE=

3

，OA=2，求證：直線AD與⊙O相切．

Answer 1

（1）∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠AOB，
∵AO是∠BAD的平分線，
∴∠EAO=∠BAO，
∴∠BAO=∠AOB，
∵∠ABC=120°，BC=2，O是BC的中點(diǎn)，
∴∠AOB=∠BAO=30°，OA=OB=1，
∴

BM

的長(zhǎng)是

30π×1

180

=

1

6

π；

（2）
證明：連接OD和OE，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABO=∠DCO，
∵O為BC中點(diǎn)，
∴BO=CO，
∵在△ABO和△DCO中

AB=DC ∠ABO=∠DCO BO=CO

∴△ABO≌△DCO（SAS），
∴AO=OD，
∵E為AD中點(diǎn)，
∴OE⊥AD，
在Rt△AEO中，AE=

3

，AO=2，由勾股定理得：OE=1=BO，
即OE為半徑，OE⊥AD，
∴直線AD與⊙O相切．