Question

【題目】在一次數學興趣小組活動中，小明利用“同弧所對的圓周角及圓心角的性質”探索了一些問題，下面請你和小明一起進入探索之旅．

問題情境：

（1）如圖1，在△ABC中，∠A=30°，BC=2，則△ABC的外接圓的半徑為　 　．

操作實踐：

（2）如圖2，在矩形ABCD中，請利用以上操作所獲得的經驗，在矩形ABCD內部用直尺與圓規作出一點P．點P滿足：∠BPC=∠BEC，且PB=PC．（要求：用直尺與圓規作出點P，保留作圖痕跡．）

遷移應用：

（3）如圖3，在平面直角坐標系的第一象限內有一點B，坐標為（2，m）．過點B作AB⊥y軸，BC⊥x軸，垂足分別為A、C，若點P在線段AB上滑動（點P可以與點A、B重合），發現使得∠OPC=45°的位置有兩個，則m的取值范圍為　 　．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）作圖見解析；（3）2≤m＜1+

【解析】試題分析：（1）連接OB、OC，只要證明△OBC是等邊三角形即可．

（2）如圖2中，作BC的垂直平分線，交BE于點O，以O為圓心，OB為半徑作圓，交垂直平分線于點P，則點P為所求．

（3）如圖3中，在x軸上方作△OKC，使得△OKC是以OC為斜邊的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．當EK=KC=時，以K為圓心，KC為半徑的圓與AB相切，此時m=BC=1+，在AB上只有一個點P滿足∠OPC=∠OKC=45°，當BK=時，在AB上恰好有兩個點P滿足∠OPC=∠OKC=45°，此時m=BC=2，由此不難得出結論．

解：（1）如圖1中，連接OB、OC．

∵∠BOC=2∠A，∠A=30°，

∴∠BOC=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OB=OC=BC=2，

故答案為：2；

（2）如圖2中，作BC的垂直平分線，交BE于點O；

以O為圓心，OB為半徑作圓，交垂直平分線于點P，

則點P為所求．

（3）如圖3中，在x軸上方作△OKC，使得△OKC是以OC為斜邊的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．

∵OC=2，

∴OK=KC=，

當EK=KC=時，以K為圓心，KC為半徑的圓與AB相切，此時m=BC=1+，在AB上只有一個點P滿足∠OPC=∠OKC=45°，

當BK=時，在AB上恰好有兩個點P滿足∠OPC=∠OKC=45°，此時m=BC=2，

綜上所述，滿足條件的m的值的范圍為2≤m＜1+．

故答案為2≤m＜1+．