Question

【題目】如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB=4，∠CBA=30°，點D在AO上運動，點E與點D關于AC對稱：DF⊥DE于點D，并交EC的延長線于點F，下列結論：

①CE=CF；

②線段EF的最小值為；

③當AD=1時，EF與半圓相切；

④當點D從點A運動到點O時，線段EF掃過的面積是4．

其中正確的序號是 ．

Answer 1

【答案】①③．

【解析】

試題分析：

①連接CD，如圖1所示．

∵點E與點D關于AC對稱，

∴CE=CD．

∴∠E=∠CDE．

∵DF⊥DE，

∴∠EDF=90°．

∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°．

∴∠F=∠CDF．

∴CD=CF，

∴CE=CD=CF．故①正確．

②當CD⊥AB時，如圖所示．

∵AB是半圓的直徑，

∴∠ACB=90°．

∵AB=4，∠CBA=30°，

∴∠CAB=60°，AC=2，BC=2．

∵CD⊥AB，∠CBA=30°，

∴CD=BC=．

根據“點到直線之間，垂線段最短”可得：

點D在線段AB上運動時，CD的最小值為．

∵CE=CD=CF，

∴EF=2CD．

∴線段EF的最小值為2．故②錯誤．

③當AD=1時，連接OC，如圖所示．

∵OA=OC，∠CAB=60°，

∴△OAC是等邊三角形．

∴CA=CO，∠ACO=60°．

∵AO=2，AD=1，

∴DO=1．

∴AD=DO，

∴∠ACD=∠OCD=30°，

∵點E與點D關于AC對稱，

∴∠ECA=∠DCA，

∴∠ECA=30°，

∴∠ECO=90°，

∴OC⊥EF，

∵EF經過半徑OC的外端，且OC⊥EF，

∴EF與半圓相切．故③正確．

④∵點D與點E關于AC對稱，

點D與點F關于BC對稱，

∴當點D從點A運動到點O時，

點E的運動路徑AM與AO關于AC對稱，

點F的運動路徑NG與AO關于BC對稱．

∴EF掃過的圖形就是圖中陰影部分．

∴S陰影=2S△AOC=2×ACBC=2．故④錯誤．

故答案為①③．