Question

【題目】如圖1，在三角形中，把繞點順時針旋轉得到，把繞點逆時針旋轉，得到,連接，過點作的垂線，交于點，交于點.

（特例嘗試）如圖2，當時，

①求證：；

②猜想與的數量關系并說明理由.

（理想論證）在圖1中，當為任意三角形時，②中與的數量關系還成立嗎？請給予證明.

（拓展應用）如圖3，直線與軸，軸分別交于、兩點，分別以，為直角邊在第二、一象限內作等腰和等腰，連接，交軸于點.試猜想的長是否為定值，若是，請求出這個值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】[特例嘗試]①見解析，②，理由見解析；[理想論證]成立，證明見解析；[拓展應用]是定值，.

【解析】

[特例嘗試]①根據垂直的定義可得∠BAD=∠CAE=90°，用360°減去其它三個角即可證得；②根據旋轉的性質易證△BAC≌△DAE(SAS)，然后根據全等三角形對應邊相等可得BC=DE,根據全等三角形對應角相等結合同角的余角相等可證∠DAG=∠EDA，根據等角對等邊可證DG=AG，同理證明GE=AG即可證明；

[理想論證]過點作,交延長線于點，過點做,交于點，通過證明三角形全等，根據全等三角形的性質可證；

[拓展應用]利用一次函數求得AO的長度，結合[理想論證]可知.

[特例嘗試]①證明：∵BA⊥AD,AC⊥AE

∴∠BAD=∠CAE=90°，

又∵

∴

②，證明如下：

由旋轉的性質可得AD=AB，AE=AC，

又∵，

∴△BAC≌△DAE(SAS)

∴∠EDA=∠CBA,∠DEA=∠BCA，BC=DE，

∵GF⊥BC，

∴∠CAF+∠ACB=90°，∠ABC+∠ACB=90°

∴∠ABC=∠CAF=∠DAG=∠EDA,

∴DG=AG，

同理可證GE=AG,

∴.

[理想論證]成立，理由如下：

過點作,交延長線于點，過點做,交于點.

∵

∴,

∵

∴

∴

∵

∴

∴,

同理可得,

∴

∵

∴

∴

∵

∴

[拓展應用]對于一次函數，當y=0時，即，

解得,

∴,

由題[理想論證]可知.