Question

已知：如圖，A（0，1）是y軸上一定點，B是x軸上一動點，以AB為邊，在∠OAB的外部作∠BAE=∠OAB，過B作BC⊥AB，交AE于點C．
（1）當B點的橫坐標為

3

3

時，求線段AC的長；
（2）當點B在x軸上運動時，設點C的縱、橫坐標分別為y、x，試求y與x的函數關系式（當點B運動到O點時，點C也與O點重合）；
（3）設過點P（0，-1）的直線l與（2）中所求函數的圖象有兩個公共點M₁（x₁，y₁）、M₂（x₂，y₂），且x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=8，求直線l的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據題意得：∠AOB=∠ABC=90°，∠OAB=∠CAB，所以△AOB∽△ABC，由相似三角形的性質，相似三角形的對應邊成比例，即可求得；
（2）當B不與O重合時，延長CB交y軸于點D，過C作CH⊥x軸，交x軸于點H，則可證得AC=AD，因為AO⊥OB，AB⊥BD，所以△ABO∽△BDO，根據相似三角形的性質即可求得；
（3）首先求得交點坐標的方程，根據根與系數的關系求解即可．

解答：解：（1）方法一：在Rt△AOB中，可求得AB=

2 3

3

，（1分）
∵∠OAB=∠BAC，∠AOB=∠ABC=Rt90°
∴△ABO∽△ACB，（2分）
∴

AO

AB

=

AB

AC

，
由此可求得：AC=

4

3

；（3分）
方法二：由題意知：tan∠OAB=

OB

OA

=

3

3

，（1分）
由勾股定理可求得AB=

2 3

3

2分，
在△ABC中，tan∠BAC=tan∠OAB=

3

3

，
可求得AC=

4

3

；（3分）

（2）方法一：當B不與O重合時，延長CB交y軸于點D，
過C作CH⊥x軸，交x軸于點H，則可證得AC=AD，
∵AO⊥OB，AB⊥BD，
∴△ABO∽△BDO，
則OB²=AO×OD，（6分）
即(

x

2

)²=1×|-y|，
化簡得：y=

x2

4

，
當O、B、C三點重合時，y=x=0，
∴y與x的函數關系式為：y=

x2

4

；（7分）
方法二：過點C作CG⊥x軸，交AB的延長線于點H，
則AC²=（1-y）²+x²=（1+y）²，化簡即可得；

（3）設直線的解析式為y=kx+b，
則由題意可得：

y=kx+b y= 1 4 x2

，
消去y得：x²-4kx-4b=0，
則有

x1+x2=4k x1×x2=-4b

，
由題設知：x₁²+x₂²-6（x₁+x₂）=8，
即（4k）²+8b-24k=8，且b=-1，
則16k²-24k-16=0，
解之得：k₁=2，k₂=-

1

2

，
當k₁=2、b=-1時，
△=16k²+16b=64-16＞0，符合題意；
當k₂=-

1

2

，b=-1時，△=16k²+16b=4-16＜0，不合題意（舍去），
∴所求的直線l的解析式為：y=2x-1．

點評：此題考查了相似三角形的綜合應用，解題時要注意仔細審題，還要注意數形結合思想的應用．