Question

【題目】如圖，已知△ABD和△AEC中，AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，CD、 BE相交于點(diǎn)P．

（1）用全等三角形判定方法證明：BE＝DC

（2）求∠BPC的度數(shù)；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，經(jīng)過深入探究后發(fā)現(xiàn)：射線AP平分∠BPC，請判斷你的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠BPC=120°；（3）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件證明△ABE≌△ADC，即可得到BE=DC

(2)設(shè)AB與DC相交于F，根據(jù)（1）問，∠ABE=∠ADC，在△AFD與△PFB中，對等角相等，從而得到∠BPD=∠DAB，從而得到∠BPC的度數(shù).

(3)應(yīng)用到角兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這歌角的角平分線上來證明，作垂線證明全等即可.

（1）證明：∵∠DAB=∠EAC=60°，
∴，∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE與△DAC中，
AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC，

∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC；
（2）∵△ABE≌△ADC
∴∠ABE=∠ADC，
設(shè)AB與DC相交于F，
∴∠AFD=∠PFB，
∴∠BPD=∠DAB=60°，
∴∠BPC=120°；
（3）證明：作AM⊥CD，AN⊥BE，垂足分別為M、N，
∴∠AMD=∠ANB=90°，
在△AMD與△ANB中，
∠ABE=∠ADC，∠ABE=∠ADC，AD=AB，

∴△ADM≌△ABN（AAS），
∴AM=AN，
在RT△AMP與RT△ANP中
AM=AN，AP=AP，

∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），
∴∠APM=∠APN，
∴PA平分∠DPE．