Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交A、B兩點（A點在B點左側），直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2．

（1）求A、B 兩點的坐標及直線AC的函數表達式；

（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；

（3）點G拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）令y=0，解x2-2x-3=0，可得AB的坐標；將C的橫坐標代入，易得其縱坐標，結合A的坐標，可得BC的方程；（2）設出P點的橫坐標，表示出P、E的坐標，可得PE長度的表達式，進而根據x的取值范圍可得線段PE長度的最大值．；（3）此類問題一定是要分情況討論的，本題可以分為4種情況，做題時盡量避免漏掉解.

試題解析：解：（1）令y=0，解得或

∴A（-1，0）B（3，0）；

將C點的橫坐標x=2代入得y=-3，∴C（2，-3）

∴直線AC的函數解析式是y="-x-1"

（2）設P點的橫坐標為x（-1≤x≤2）

則P、E的坐標分別為：P（x，-x-1），E（

∵P點在E點的上方，PE=（2分）

∴當時，PE的最大值=

（3）存在4個這樣的點F，分別是

①如圖，連接C與拋物線和y軸的交點，那么CG∥x軸，此時AF=CG=2，因此F點的坐標是（-3，0）；

②如圖，AF=CG=2，A點的坐標為（-1，0），因此F點的坐標為（1，0）；

③如圖，此時C，G兩點的縱坐標關于x軸對稱，因此G點的縱坐標為3，代入拋物線中即可得出G點的坐標為（1+，3），由于直線GF的斜率與直線AC的相同，因此可設直線GF的解析式為y=-x+h，將G點代入后可得出直線的解析式為y=-x+4+．因此直線GF與x軸的交點F的坐標為（4+，0）；

④如圖，同③可求出F的坐標為（4-，0）．

綜合四種情況可得出，存在4個符合條件的F點．